Nombre premier de Pierpont

Distribution des exposants des plus petits nombres de Pierpont

Andrew Gleason a conjecturé qu'il y a une infinité de nombres premiers de Pierpont. Ils ne sont pas particulièrement rares et il y a peu de restrictions par rapport à la factorisation algébrique ; il n'y a donc pas de conditions comme la primalité de l'exposant dans les nombres de Mersenne premiers. Il y a 36 nombres premiers de Pierpont inférieurs à 10⁶, 59 inférieurs à 10⁹, 151 inférieurs 10²⁰ et 789 inférieurs à 10¹⁰⁰ ; conjecturellement, il y a O(log N) premiers de Pierpont plus petits que N, en comparaison de la conjecture O(log log N) premiers de Mersenne plus petits que N.

Dans le cadre de la recherche internationale de facteurs premiers de nombres de Fermat, des nombres premiers de Pierpont ont été annoncés comme tels. La table suivante[2] donne des valeurs de m, v et u tels que

${\displaystyle 2^{u}3^{v}+1{\text{ est premier et divise le nombre de Fermat }}2^{2^{m}}+1.}$

De 2008 à 2011, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 × 2^{2 478 785} + 1[3], dont la primalité fut prouvée par John B. Cosgrave (en) en 2003 avec un logiciel de Paul Jobling, George Woltman, et Yves Gallot[4]. En 2014, le plus grand nombre premier de Pierpont connu est 3 × 2^{10 829 346} + 1[3] - [5], mais il ne fait pas partie de la liste des diviseurs connus d'un nombre de Fermat.

En mathématiques des origamis, les axiomes de Huzita définissent six des sept types de pliage possibles. Ces pliages sont suffisants pour permettre de former n'importe quel polygone régulier dont le nombre de côtés est supérieur ou égal à 4 et de la forme 2^m3ⁿρ, où ρ est le produit de nombres premiers de Pierpont distincts. Ces polygones réguliers sont que ceux que l'on peut construire au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle[6]. Les polygones réguliers qui peuvent être construits avec seulement un compas et une règle correspondent au cas spécial où n = 0 et ρ est le produit de nombres premiers de Fermat distincts, eux-mêmes un sous-ensemble des nombres premiers de Pierpont.

Le plus petit nombre premier qui ne soit pas un nombre premier de Pierpont (ou de Fermat) est 11, donc le hendécagone est le plus petit polygone régulier qui ne peut pas être construit au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle. Tous les autres n-gones réguliers avec 3 ≤ n ≤ 21 peuvent être construits au compas, à la règle, et au trisecteur d'angle (si besoin).