Nombre hyperparfait
En mathématiques, un nombre k-hyperparfait (quelquefois simplement appelé nombre hyperparfait) est un entier naturel n tel que
où σ(n) est la somme de tous les diviseurs positifs de n. Les nombres parfaits sont donc les nombres 1-hyperparfaits.
Suites de nombres
Les premiers termes de la suite croissante des nombres k-hyperparfaits sont 6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (suite A034897 de l'OEIS), les valeurs correspondantes de k étant 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (suite 
 A034898). Les premiers nombres k-hyperparfaits qui ne sont pas parfaits sont 21, 301, 325, 697, 1333, ... (suite  A007592).
Table
La table suivante liste les premiers nombres k-hyperparfaits pour certaines valeurs de k, mis en regard avec le numéro de la suite des nombres k-hyperparfaits dans l'Encyclopédie électronique des suites entières :
| k | OEIS | Quelques nombres k-hyperparfaits connus |
|---|---|---|
| 1 |  A000396 |
6, 28, 496, 8128, 33550336, ... |
| 2 |  A007593 |
21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... |
| 3 | 325, ... | |
| 4 | 1950625, 1220640625, ... | |
| 6 |  A028499 |
301, 16513, 60110701, 1977225901, ... |
| 10 | 159841, ... | |
| 11 | 10693, ... | |
| 12 |  A028500 |
697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... |
| 18 |  A028501 |
1333, 1909, 2469601, 893748277, ... |
| 19 | 51301, ... | |
| 30 | 3901, 28600321, ... | |
| 31 | 214273, ... | |
| 35 | 306181, ... | |
| 40 | 115788961, ... | |
| 48 | 26977, 9560844577, ... | |
| 59 | 1433701, ... | |
| 60 | 24601, ... | |
| 66 | 296341, ... | |
| 75 | 2924101, ... | |
| 78 | 486877, ... | |
| 91 | 5199013, ... | |
| 100 | 10509080401, ... | |
| 108 | 275833, ... | |
| 126 | 12161963773, ... | |
| 132 | 96361, 130153, 495529, ... | |
| 136 | 156276648817, ... | |
| 138 | 46727970517, 51886178401, ... | |
| 140 | 1118457481, ... | |
| 168 | 250321, ... | |
| 174 | 7744461466717, ... | |
| 180 | 12211188308281, ... | |
| 190 | 1167773821, ... | |
| 192 | 163201, 137008036993, ... | |
| 198 | 1564317613, ... | |
| 206 | 626946794653, 54114833564509, ... | |
| 222 | 348231627849277, ... | |
| 228 | 391854937, 102744892633, 3710434289467, ... | |
| 252 | 389593, 1218260233, ... | |
| 276 | 72315968283289, ... | |
| 282 | 8898807853477, ... | |
| 296 | 444574821937, ... | |
| 342 | 542413, 26199602893, ... | |
| 348 | 66239465233897, ... | |
| 350 | 140460782701, ... | |
| 360 | 23911458481, ... | |
| 366 | 808861, ... | |
| 372 | 2469439417, ... | |
| 396 | 8432772615433, ... | |
| 402 | 8942902453, 813535908179653, ... | |
| 408 | 1238906223697, ... | |
| 414 | 8062678298557, ... | |
| 430 | 124528653669661, ... | |
| 438 | 6287557453, ... | |
| 480 | 1324790832961, ... | |
| 522 | 723378252872773, 106049331638192773, ... | |
| 546 | 211125067071829, ... | |
| 570 | 1345711391461, 5810517340434661, ... | |
| 660 | 13786783637881, ... | |
| 672 | 142718568339485377, ... | |
| 684 | 154643791177, ... | |
| 774 | 8695993590900027, ... | |
| 810 | 5646270598021, ... | |
| 814 | 31571188513, ... | |
| 816 | 31571188513, ... | |
| 820 | 1119337766869561, ... | |
| 968 | 52335185632753, ... | |
| 972 | 289085338292617, ... | |
| 978 | 60246544949557, ... | |
| 1050 | 64169172901, ... | |
| 1410 | 80293806421, ... | |
| 2772 |  A028502 |
95295817, 124035913, ... |
| 3918 | 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... | |
| 9222 | 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... | |
| 9828 | 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... | |
| 14280 | 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... | |
| 23730 | 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... | |
| 31752 |  A034916 |
4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... |
| 55848 | 15166641361, 44783952721, 67623550801, ... | |
| 67782 | 18407557741, 18444431149, 34939858669, ... | |
| 92568 | 50611924273, 64781493169, 84213367729, ... | |
| 100932 | 50969246953, 53192980777, 82145123113, ... |
Propriétés
Si k > 1 est un entier naturel impair et p = (3k + 1)/2 etq = 3k + 4 sont des nombres premiers, alors p2q est k-hyperparfait ; Judson S. McCranie a conjecturé en 2000 que tous les nombres k-hyperparfaits pour k > 1 impair sont de cette forme, mais l'hypothèse n'a pas encore été démontrée. De plus, si p ≠q sont des nombres premiers impairs et k un entier tel que k(p + q) = pq – 1, alors pq est k-hyperparfait.
Il est aussi possible de montrer que si k > 0 et p = k + 1 est premier, alors pour tout i > 1 tel que q = pi – p + 1 est premier, n = pi – 1q est k-hyperparfait. La table suivante liste les valeurs connues de k et les valeurs correspondantes de i pour lesquelles n est k-hyperparfait :
| k | OEIS | Valeurs de i |
|---|---|---|
| 16 |  A034922 |
11, 21, 127, 149, 469, ... |
| 22 | 17, 61, 445, ... | |
| 28 | 33, 89, 101, ... | |
| 36 | 67, 95, 341, ... | |
| 42 |  A034923 |
4, 6, 42, 64, 65, ... |
| 46 |  A034924 |
5, 11, 13, 53, 115, ... |
| 52 | 21, 173, ... | |
| 58 | 11, 117, ... | |
| 72 | 21, 49, ... | |
| 88 |  A034925 |
9, 41, 51, 109, 483, ... |
| 96 | 6, 11, 34, ... | |
| 100 |  A034926 |
3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ... |
Voir aussi
Articles connexes
Lien externe
(en) Eric W. Weisstein, « Hyperperfect Number », sur MathWorld
Bibliographie
- (en) Daniel Minoli et Robert Bear, « Hyperperfect Numbers », PME (Pi Mu Epsilon) Journal, Fall, University Oklahoma,‎ , p. 153-157
- (en) Daniel Minoli, « Sufficient Forms For Generalized Perfect Numbers », Ann. Fac. Sciences, Univ. Nation. Zaire, Section Mathem., vol. 4, no 2,‎ , p. 277-302
- (en) Daniel Minoli, « Structural Issues For Hyperperfect Numbers », Fibonacci Quarterly, vol. 19, no 1,‎ , p. 6-14
- (en) Daniel Minoli, « Issues In Non-Linear Hyperperfect Numbers », Math. Comp., vol. 34, no 150,‎ , p. 639-645
- (en) Daniel Minoli, « New Results For Hyperperfect Numbers », Abstracts AMS, vol. 1, no 6,‎ , p. 561
- (en) Daniel Minoli et W. Nakamine, « Mersenne Numbers Rooted On 3 For Number Theoretic Transforms », IEEE International Conf. on Acoust., Speech and Signal Processing,‎
- (en) Judson S. McCranie, « A Study of Hyperperfect Numbers », Journal of Integer Sequences, vol. 3,‎ (lire en ligne)