Nombre de Cullen

Tous les C_n pour n > 0 sont des nombres de Proth.

Presque tous[3] les nombres de Cullen sont composés ; les seuls nombres de Cullen premiers connus sont ceux correspondant aux seize valeurs suivantes de l'indice n :

1, 141, 4 713, 5 795, 6 611, 18 496, 32 292, 32 469, 59 656, 90 825, 262 419, 361 275, 481 899, 1 354 828, 6 328 548 et 6 679 881 (suite  A005849).

Cependant, on conjecture qu'il en existe une infinité d'autres[4].

Le plus grand nombre de Cullen premier connu est 6 679 881 × 2^6679881 + 1. C'est un méganombre premier avec 2 010 852 chiffres (en base dix) et il a été découvert en 2009 par un participant japonais du projet PrimeGrid[5].

Il découle du petit théorème de Fermat que si p est un nombre premier impair, alors p divise C_m(k) pour m(k) = (2^k − k)(p − 1) − k, pour tout k ≥ 0[4].

Ce nombre p divise[4] :

• ${\displaystyle C_{\frac {p+1}{2}}}$ si le symbole de Legendre ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ est –1, c'est-à-dire si p est de la forme 8k ± 3 ;
• ${\displaystyle C_{\frac {3p-1}{2}}}$ si le symbole de Legendre ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ est +1, c'est-à-dire si p est de la forme 8k ± 1.

On ignore s'il existe un nombre premier p tel que C_p soit aussi premier[4].

Certains auteurs appellent « nombres de Cullen généralisés[4] » les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme nbⁿ + 1, où n + 2 > b.

Les nombres de Woodall sont quelquefois appelés « nombres de Cullen de deuxième espèce[4] ».