Nombre d'Eisenstein premier

D'après les propriétés générales de la norme sur un anneau d'entiers quadratiques, les nombres d'Eisenstein premiers s'obtiennent en décomposant dans ℤ[ω] les nombres premiers usuels, et pour un tel entier naturel premier p, il n'y a que deux possibilités :

• ou bien p reste irréductible dans ℤ[ω],
• ou bien p = N(π) pour un certain élément π de ℤ[ω], qui est alors irréductible.

Il reste à vérifier que ces deux cas correspondent aux congruences annoncées.

• Si p ≡ –1 mod 3, on est dans le premier cas. En effet, toute norme d'un élément π = a + bω de ℤ[ω] est un carré mod 3, puisque 4N(π) = (2a – b)² + 3b².
• Si p ≡ 1 mod 3, on est dans le second. En effet, un cas particulier de la loi de réciprocité quadratique montre que –3 est un carré mod p, c'est-à-dire qu'il existe un entier x tel que p divise x² + 3. Dans ℤ[ω], p ne peut donc pas être irréductible, sinon, divisant x² + 3 = (x + i√3)(x – i√3), il diviserait l'un des facteurs, ce qui est impossible car les nombres (x + i√3)/p = (x + 1)/p + (2/p)ω et son conjugué ne sont pas dans l'anneau (2 n'est pas divisible par p).
• 3 = N(2 + ω).

ℤ[ω] étant principal, ses éléments premiers sont les générateurs de ses idéaux premiers non nuls. Chacun de ces idéaux possède six générateurs (associés). La classification de ces idéaux dans l'anneau des entiers de ℚ(√d) pour d quelconque (cf. article détaillé), appliquée ici à d = –3, montre alors que ces éléments sont :

• pour tout nombre premier p > 3 modulo lequel –3 n'est pas un carré, les six éléments associés à p ;
• pour tout nombre premier p > 3 modulo lequel –3 est un carré, les douze éléments de norme p ;
• les six éléments de norme 3.

Or d'après la loi de réciprocité quadratique, modulo un nombre premier p > 3, –3 est un carré si et seulement si p ≡ 1 mod 3.