Nappe de courant

Une nappe de courant infinie peut être modélisée comme un nombre infini de fils parallèles transportant tous le même courant ${\displaystyle I}$. En supposant qu'il y a ${\displaystyle n}$ fils par unité de longueur, le champ magnétique peut être dérivé en utilisant le théorème d'Ampère pour un contour rectangulaire ${\displaystyle C}$, perpendiculaire aux fils et enlaçant (entourant) une partie de la nappe de courant :

${\displaystyle \oint _{C}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=\mu _{0}I_{enl}}$

${\displaystyle \oint _{C}Bdl\cos {\theta }=\mu _{0}I_{enl}}$,

où ${\displaystyle I_{enl}}$ est le courant total enlacé par le contour ${\displaystyle C}$. Le long des deux côtés perpendiculaires à la nappe, ${\displaystyle {\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=0}$ puisque ${\displaystyle \cos \left(\pi /2\right)=0}$. Le long des deux côtés parallèles, ${\displaystyle \cos \left(0\right)=1}$. Donc, si ${\displaystyle L}$ est l'un des côtés parallèles du contour rectangulaire de dimensions ${\displaystyle L}$ x ${\displaystyle W}$, l'intégrale se simplifie en :

${\displaystyle 2\int _{L}Bdl=\mu _{0}I_{enl}}$.

Puisque la nappe de courant est infinie, l'intensité ${\displaystyle B}$ du champ est constante le long de ${\displaystyle L}$. On peut donc la sortir de l'intégrale :

${\displaystyle 2B\int _{L}dl=\mu _{0}I_{enl}}$.

L'intégrale est alors évaluée :

${\displaystyle 2BL=\mu _{0}I_{enl}}$.

En résolvant pour ${\displaystyle B}$, en remplaçant ${\displaystyle I_{enl}}$ par ${\displaystyle InL}$, et en simplifiant, on obtient :

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}In}{2}}}$.

Notamment, il apparaît que l'intensité du champ magnétique d'une nappe de courant infinie ne dépend pas de la distance entre le point considéré et la nappe.

La direction du champ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ est donnée par la règle de la main droite.

Un équilibre de nappe de courant unidimensionnel bien connu est celui de la configuration d'équilibre de Harris, une solution stationnaire du système Maxwell-Vlasov[6]. Le profil du champ magnétique d'une nappe de courant de Harris le long de l'axe ${\displaystyle (O,y)}$ est le suivant :

${\displaystyle {\vec {B}}(y)=B_{0}\tanh \left({\frac {y}{\delta }}\right){\vec {x}}}$,

où ${\displaystyle B_{0}}$ est l'intensité du champ magnétique asymptotique, ${\displaystyle \delta }$ est l'épaisseur de la nappe de courant et ${\displaystyle {\vec {x}}}$ est le vecteur unitaire. La densité de courant est alors donnée par :

${\displaystyle {\vec {J}}(y)=-{\frac {B_{0}}{\mu _{0}\delta }}{\frac {1}{\cosh ^{2}\left({\frac {y}{\delta }}\right)}}{\vec {z}}}$.

La pression du plasma est donnée par :

${\displaystyle p(y)={\frac {B_{0}^{2}}{2\mu _{0}}}{\frac {1}{\cosh ^{2}\left({\frac {y}{\delta }}\right)}}+p_{0}}$,

où ${\displaystyle p_{0}}$ est la valeur asymptotique.

• Physique des plasmas