Moment multipolaire axial

Pour une charge ponctuelle q située en un point P de l'espace, le potentiel électrostatique créé en un point M est donné par:

${\displaystyle V(M)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}PM}}}$.

Dans le cas particulier où la charge q est situé sur l'axe Oz à la distance ${\displaystyle d>0}$ de l'origine O, il est possible d'exprimer le potentiel électrostatique au point M repéré par ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {OM} }$:

${\displaystyle V(M)={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}{\sqrt {r^{2}+d^{2}-2dr\cos {\theta }}}}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r{\sqrt {1+{\epsilon }^{2}-2\epsilon \cos {\theta }}}}}}$,

où ${\displaystyle \theta }$ est l'angle entre ${\displaystyle \mathbf {r} }$ et l'axe Oz, et ${\displaystyle \epsilon ={\tfrac {d}{r}}}$.

Il est possible de remarquer que ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}-2\epsilon \cos {\theta }}}}}$ correspond à la fonction génératrice des polynômes de Legendre:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}-2\epsilon \cos {\theta }}}}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\epsilon ^{k}P_{k}(\cos {\theta })}}$[N 2].

Par suite l'expression du potentiel électrostatique créé au point M par une charge ponctuelle q située au voisinage de l'origine sur l'axe Oz est donnée par:

${\displaystyle V(M)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{k=0}^{+\infty }{M_{k}{\frac {P_{k}(\cos {\theta })}{r^{k+1}}}}}$,

avec ${\displaystyle M_{k}=qd^{k}}$ moment multipolaire axial.

Clairement les différentes contributions décroissent rapidement avec r et pour d très petit devant la distance r on retrouve sans surprise l'expression du potentiel pour une charge à l'origine.

Dans le cas plus général de N charges discrètes ${\displaystyle q_{n}}$ réparties sur l'axe Oz aux positions (algébriques) ${\displaystyle z_{n}}$, il est clair que du fait de la linéarité des équations de l'électrostatique l'expression du potentiel créé à grande distance en un point M est la somme des potentiels créés part chacune des charges. Il en résulte une expression de la même forme que précédemment :

${\displaystyle V(M)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{k=0}^{+\infty }{M_{k}{\frac {P_{k}(\cos {\theta })}{r^{k+1}}}}}$,

avec:

${\displaystyle M_{k}=\sum _{n=1}^{N}{q_{n}z_{n}^{k}}}$, moment 2^k-polaire axial de la distribution.

Le moment d'ordre k = 0 correspond au terme polaire de la distribution, physiquement il s'agit simplement de la charge globale de la distribution: ${\displaystyle M_{0}=\sum _{n=1}^{N}{q_{n}}=Q}$. Le terme correspondant dans l'expansion en multipôles axiaux est donc en 1/r et domine largement à grande distance sauf si Q = 0 (distribution apolaire).

Le moment suivant correspond au moment dipolaire électrique de la distribution: ${\displaystyle M_{1}=\sum _{k=0}^{N}{qz_{n}}}$. Le terme correspondant dans la distribution varie en ${\displaystyle 1/r^{2}}$.

Les moments suivants sont dits quadrupolaire (2²), octupolaire (2³), etc.

Il est possible de considérer trois charges, de valeurs ${\displaystyle q_{1}}$, ${\displaystyle q_{2}}$ et ${\displaystyle q_{3}}$, placées respectivement en z = d (d > 0), z = 0 et z = - d. L'expression précédente du moment 2^k-polaire ${\displaystyle M_{k}}$ devient alors:

${\displaystyle M_{k}=q_{1}d^{k}+(-1)^{k}q_{3}d^{k}}$ pour ${\displaystyle k=1,2,...,\infty }$ et ${\displaystyle M_{0}=q_{1}+q_{2}+q_{3}}$.

Les cas particuliers suivants peuvent être considérés:

• distribution purement polaire: ${\displaystyle q_{1}=q_{3}=0}$, ${\displaystyle q_{2}neq0}$: tous les moments multipolaire d'ordre supérieur à 0 sont nuls, le potentiel est celui d'une charge unique placée à l'origine;
• dipôle électrostatique rigide: ${\displaystyle q_{1}=-q_{3}=q}$, ${\displaystyle q_{2}=0}$. Dans ce cas le terme polaire de l'expansion est nul, et le premier moment non nul est le moment dipolaire ${\displaystyle M_{1}=2qd=p}$. Le terme dominant du potentiel est le terme dipolaire électrique ${\displaystyle v_{dip.}(M)={\frac {p\cos {\theta }}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}}$, avec ${\displaystyle \mathbf {p} =2qd\mathbf {e} _{z}}$ vecteur moment dipolaire électrique. Le terme suivant dans l'expansion du potentiel est le terme octupolaire faisant intervenir ${\displaystyle M_{3}=2qd^{3}}$, soit ${\displaystyle V_{oct.}={\frac {M_{3}P_{3}(\cos {\theta })}{4\pi \epsilon _{0}r^{4}}}}$ et variant en ${\displaystyle 1/r^{4}}$.
• quadrupôle électrostatique linéaire: ${\displaystyle q_{1}=q_{3}=q}$, ${\displaystyle q_{2}=-2q}$. Il est facile de vérifier qu'alors les moments polaire et dipolaire ${\displaystyle M_{0}}$ et ${\displaystyle M_{1}}$ sont nuls, le premier moment non nul est le moment quadrupolaire ${\displaystyle M_{2}=2qd^{2}}$ et le terme correspondant dans l'expression du potentiel est ${\displaystyle V_{quad.}(M)={\frac {M_{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}{\frac {\left(3\cos ^{2}{\theta }-1\right)}{2}}}$.