Modèle de Watts–Strogatz

Dans le cas limite ${\displaystyle p=0}$, la longueur moyenne du plus court chemin est ${\displaystyle \ell (0)\sim {\frac {n}{2k}}\gg 1}$ : le graphe initial ne dispose pas de la propriété de petit monde, à l'inverse de l'autre cas limite ${\displaystyle p=1}$, c'est-à-dire celui du graphe aléatoire, où ${\displaystyle \ell (1)\sim {\frac {\ln(n)}{\ln(k)}}}$[1].

Dans le cas limite ${\displaystyle p=0}$, le coefficient de clustering est celui du graphe initial en anneau et s'écrit ${\displaystyle C(0)={\frac {3(k-2)}{4(k-1)}}={\frac {3(m-1)}{2(2m-1)}}}$. Il ne dépend donc que de la topologie du réseau et pas de sa taille[3] - [4]. Dans le cas limite ${\displaystyle p=1}$, le coefficient de clustering se comporte comme celui d'un graphe aléatoire : ${\displaystyle C(1)\sim {\frac {k}{n}}}$[4]. Pour ${\displaystyle 0<p<1}$, le coefficient de clustering dépend peu de ${\displaystyle n}$ et se comporte en ${\displaystyle C(p)\approx C(0)(1-p)^{3}}$[3].

Watts et Strogatz ont mis en évidence un intervalle pour ${\displaystyle p}$ où ${\displaystyle \ell (p)}$ est proche de ${\displaystyle \ell (1)}$ mais avec ${\displaystyle C(p)\gg C(1)}$. Il en résulte des réseaux hautement agglomérés et disposant de la propriété de petit monde[1].

Pour une probabilité de reconnexion ${\displaystyle 0<p<1}$, on obtient pour ${\displaystyle c\geq m}$ la distribution de degré suivante[3] :

${\displaystyle P(c)=\sum _{n=0}^{\min(c-m,m)}{{m} \choose {n}}(1-p)^{n}p^{m-n}{\frac {(pm)^{c-m-n}}{(c-m-n)!}}e^{-pm}}$

La forme de la distribution de degré est similaire à celle d'un réseau aléatoire. Elle possède un pic à ${\displaystyle c=2m=k}$ et décroit exponentiellement pour ${\displaystyle c}$ élevé. Le modèle de Watts–Strogatz est donc relativement homogène en degré, les nœuds du réseau ayant un degré proche du degré moyen[4].

Malgré l'homogénéité en degré du modèle de Watts–Strogatz, sa distribution en intermédiarité est hétérogène, sans toutefois vérifier une loi de puissance que l'on retrouve par exemple dans le modèle de Barabási-Albert[5].