Modèle de Kuramoto

Dans la version la plus populaire du modèle de Kuramoto, chaque oscillateur est considéré comme ayant sa propre fréquence naturelle intrinsèque et est couplé de manière égale à toutes les autres oscillateurs. Étonnamment, ce modèle non-linéaire peut être résolu exactement, dans la limite où N tend vers l'infini, grâce à une transformation astucieuse et l'application d'arguments d'auto-cohérence .

La forme la plus populaire de ce modèle est donc régie par les équations suivantes :

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N}$,

où N est le nombre d'oscillateurs, de phase ${\displaystyle \theta _{i}}$ et de fréquence propre ${\displaystyle \omega _{i}}$ avec un terme de couplage K.

On peut ajouter un bruit pour chaque oscillateur. Dans ce cas, l'équation d'origine devient :

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+\zeta _{i}+{\dfrac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}\sin(\theta _{j}-\theta _{i})}$,

où ${\displaystyle \zeta _{i}}$ est le terme de bruit. Si l'on considère le cas d'un bruit blanc, on a :

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\rangle =0}$ ,

${\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\zeta _{j}(t')\rangle =2D\delta _{ij}\delta (t-t')}$

avec ${\displaystyle D}$ désignant l'intensité du bruit.

La transformation qui permet de résoudre exactement ce modèle (dans la limite où N → ∞) est la suivante :

Définissant les paramètres d'ordre r et ψ par

${\displaystyle re^{i\psi }={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}e^{i\theta _{j}}}$.

Ici r représente la cohérence de phase de l'ensemble des oscillateurs et ψ est la phase moyenne. En multipliant cette équation par ${\displaystyle e^{-i\theta _{i}}}$ on obtient pour la partie imaginaire l'équation :

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+Kr\sin(\psi -\theta _{i})}$.

Ce qui permet de découpler les équations des différents oscillateurs. Les paramètres d'ordres gouvernent alors seuls la dynamique. Une transformation supplémentaire est généralement utilisée, afin de forcer la phase moyenne à demeurer nulle (i.e. ${\displaystyle \psi =0}$) en se plaçant dans le référentiel lié à cette dernière. Ainsi les équations se résument à:

${\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}-Kr\sin(\theta _{i})}$.

Considérons maintenant la limite où N tend vers l'infini. Notons g(ω) la distribution des fréquences propres des oscillateurs (que l'on supposera normalisée), et ${\displaystyle \rho (\theta ,\omega ,t)}$ la densité d'oscillateurs de phase θ et de fréquence ω au temps t. Par normalisation, on a :

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\rho (\theta ,\omega ,t)\,d\theta =1.}$

L'équation de continuité pour les oscillateurs implique

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho v]=0,}$

où v est la vitesse de dérive des oscillateurs obtenue en prenant la limite N infinie dans l'équation transformée :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho \omega +\rho Kr\sin(\psi -\theta )]=0.}$

Pour finir, il faut adapter la définition des paramètres d'ordre à la limite continue ${\displaystyle \theta _{i}}$ est remplacé par sa moyenne statistique sur l'ensemble des ${\displaystyle \omega }$) et la somme devient une intégrale d'où :

${\displaystyle re^{i\psi }=\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\theta }\int _{-\infty }^{\infty }\rho (\theta ,\omega ,t)g(\omega )\,d\omega \,d\theta .}$

L'état incohérent dans lequel tous les oscillateurs dérivent aléatoirement correspond à la solution ${\displaystyle \rho =1/(2\pi )}$. Dans ce cas,  ${\displaystyle r=0}$ et il n'y a pas de cohérence possible entre les oscillateurs. Les phases se répartissent uniformément dans tout l'espace possible et la population est dans un état stationnaire statistique (et ceci bien que la phase de chaque oscillateur continue d'évoluer à sa fréquence propre ω).

Pour un terme de couplage K suffisant, une solution synchronisée est possible. Dans l'état entièrement synchronisé, tous les oscillateurs partagent une fréquence commune bien que leurs phases puissent être différentes.

Une solution pour le cas d'une synchronisation partielle correspond à un état dans lequel une fraction seulement des oscillateurs (ceux dont la fréquence propre est proche de la fréquence moyenne) se synchronisent ; les autres dérivant de manière incohérente. Mathématiquement, la distribution des oscillateurs est la somme de deux termes :

${\displaystyle \rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin \left({\frac {\omega }{Kr}}\right)\right)}$

pour les oscillateurs cohérents, et

${\displaystyle \rho ={\frac {\rm {normalization\;constant}}{(\omega -Kr\sin(\theta -\psi ))}}}$

pour les oscillateurs libres. Cette limite apparaît lorsque ${\displaystyle |\omega |<Kr}$.

Différents motifs de synchronisation dans des réseaux bi-dimensionnels d'oscillateurs de type Kuramoto avec différentes fonctions d'interactions et pour différentes topologies de couplage. (A) Moulins à vent. (B) Vagues. (C) Chimères. (D) Combinaison de vagues et de chimères. La couleur indique la phase des oscillateurs.

Il y a deux types de variations possibles autour du modèle original présenté ci-dessus. On peut modifier la structure topologique du modèle ou bien modifier la forme fonctionnelle du terme de couplage du modèle.

• la librairie pyclustering inclut une implémentation du modèle de Kuramoto et de ses variations en Python et en C++. Elle contient aussi des modèles d'oscillateurs sur réseaux (pour l'analyse de cluster, la reconnaissance de motifs, le coloriage de graphe et la segmentation d'image) basés sur le modèle de Kuramoto et l'oscillation de phase.

• Master stability function