Modèle de Jaynes-Cummings

Le champ à l'intérieur du résonateur est décrit en termes d'opérateurs de création et d'annihilation bosoniques de photons.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}_{\text{champ}}&=\hbar \omega _{c}({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+1/2)\\\end{aligned}}}$

où

• ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ est la constante de Planck réduite ;
• ${\displaystyle a^{\dagger }}$ est l'opérateur de création ;
• ${\displaystyle a}$ est l'opérateur d'annihilation ;
• le terme 1/2 représente l'énergie du vide.

Au passage, on reconnaît ici l'opérateur nombre de particules : ${\displaystyle a^{\dagger }a}$ , de sorte que les valeurs propres d'énergie autorisées du champ, ${\displaystyle E_{c}=\hbar \omega _{c}n}$ , dépendent de la quantité de photons ${\displaystyle n}$ présents.

L'opérateur hamiltonien pour l'atome seul est donné par

${\displaystyle {\hat {H}}_{a}=\hbar \omega _{a}{\hat {\sigma }}^{+}{\hat {\sigma }}^{-}}$

où

• ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{+}=|e\rangle \langle f|}$ est l'opérateur atomique de montée de l'état fondamental ${\displaystyle |f\rangle }$ vers l'état excité ${\displaystyle |e\rangle }$;
• ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{-}=|f\rangle \langle e|}$ est l'opérateur atomique de descente de l'état excité ${\displaystyle |e\rangle }$ vers l'état fondamental ${\displaystyle |f\rangle }$;
• et ${\displaystyle \omega _{a}}$ représente la fréquence de résonance atomique.

On considère ici l'atome comme un système à deux niveaux. Cela signifie que l'on n'a pas affaire à un atome avec son spin en tant que tel mais bien à un système quantique générique à deux niveaux dont l'espace de Hilbert est isomorphe à un spin demi-entier. Il peut se trouver dans son état fondamental ${\displaystyle |f\rangle }$ avec l'énergie E=0 ou dans son état excité ${\displaystyle |e\rangle }$ avec l'énergie ${\displaystyle E=\hbar \omega _{a}}$. Si l'on définit l'opérateur d'inversion atomique ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}}$ comme le commutateur des opérateurs atomiques de montée et de descente

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}=[{\hat {\sigma }}^{+},{\hat {\sigma }}^{-}]=|e\rangle \langle e|-|f\rangle \langle f|}$

alors l'hamiltonien de l'excitation atomique peut s'écrire comme

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}_{\text{atom}}&=\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\\\end{aligned}}}$

Enfin, on décrit l'interaction entre champ et atome par un hamiltonien d'interaction

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}_{\text{int}}&={\frac {\hbar \Omega }{2}}{\hat {E}}{\hat {S}}.\end{aligned}}}$

où

• ${\displaystyle {\hat {E}}={\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }}$ est l'opérateur du champ;
• ${\displaystyle {\hat {S}}={\hat {\sigma }}^{+}+{\hat {\sigma }}^{-}}$ est l'opérateur de polarisation.

Après application de l'approximation des ondes tournantes, l'hamiltonien d'interaction contient seulement deux termes. Ceux-ci correspondent à la relaxation de l'atome de son état excité vers son état fondamental avec émission simultanée d'un photon et vice versa avec absorption simultanée d'un photon lors de la transition de l'atome de son état fondamental vers son état excité.

${\displaystyle {\hat {H}}_{int}=\hbar g\left(a^{\dagger }{\hat {\sigma }}^{-}+{\hat {\sigma }}^{+}a\right)}$

où

• la constante ${\displaystyle g>0,\in \mathbb {R} }$ représente l'intensité du couplage.