Mesure de Dieudonné

Soit ${\displaystyle \Omega }$ le premier ordinal non dénombrable et ${\displaystyle X}$ l'espace topologique ${\displaystyle \Omega +1=[0,\Omega ]}$ (muni de la topologie de l'ordre), qui est un espace compact.

On définit une fonction d'ensembles ${\displaystyle \mu }$ sur l'ensemble des parties de ${\displaystyle X}$ par :

• ${\displaystyle \mu (A)=1}$ si ${\displaystyle A}$ ∪ {${\displaystyle \Omega }$} contient un compact non dénombrable ;
• ${\displaystyle \mu (A)=0}$ sinon.

La restriction de cette fonction d'ensembles à la tribu borélienne se révèle être une mesure de probabilité, qui ne prend que les valeurs 0 et 1 : la mesure de Dieudonné.

On peut montrer ceci en passant par les étapes intermédiaires suivantes :

Étape 1 : si ${\displaystyle (K_{n})}$ est une suite de compacts non dénombrables de ${\displaystyle X}$, leur intersection est également un compact non dénombrable.

Preuve : La compacité est claire, il faut montrer la non-dénombrabilité de l'intersection des ${\displaystyle K_{n}}$, ce qui revient à montrer qu'elle contient des ordinaux dénombrables arbitrairement grands. Soit ${\displaystyle \alpha }$ un ordinal dénombrable ; comme ${\displaystyle K_{1}}$ n'est pas dénombrable, on peut choisir un ordinal dénombrable ${\displaystyle \alpha _{1}}$ de ${\displaystyle K_{1}}$ supérieur ou égal à ${\displaystyle \alpha }$ ; de proche en proche on construit un ${\displaystyle \alpha _{2}}$ de ${\displaystyle K_{2}}$ supérieur ou égal à ${\displaystyle \alpha _{1}}$ puis toute une suite croissante d'ordinaux dénombrables où ${\displaystyle \alpha _{3}}$ est pris dans ${\displaystyle K_{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{4}}$ dans ${\displaystyle K_{2}}$, ${\displaystyle \alpha _{5}}$ dans ${\displaystyle K_{3}}$, ${\displaystyle \alpha _{6}}$ dans ${\displaystyle K_{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{7}}$ dans ${\displaystyle K_{2}}$, ${\displaystyle \alpha _{8}}$ dans ${\displaystyle K_{3}}$, ${\displaystyle \alpha _{9}}$ dans ${\displaystyle K_{4}}$, ${\displaystyle \alpha _{10}}$ dans ${\displaystyle K_{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{11}}$ dans ${\displaystyle K_{2}}$, etc.

Cette suite croissante converge vers un ordinal dénombrable ${\displaystyle \beta }$ plus grand que ${\displaystyle \alpha }$. Pour chaque entier ${\displaystyle n}$, cet ordinal ${\displaystyle \beta }$ est limite d'une suite d'éléments du fermé ${\displaystyle K_{n}}$ et appartient donc à ${\displaystyle K_{n}}$. C'est ainsi un élément de leur intersection plus grand que ${\displaystyle \alpha }$.

Étape 2 : soit ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle C}$ deux parties de ${\displaystyle X}$. Si ${\displaystyle \mu (B)=\mu (C)=1}$, ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle C}$ se rencontrent.

Preuve : soit ${\displaystyle K}$ un compact non dénombrable inclus dans ${\displaystyle B}$ ∪ {${\displaystyle \Omega }$} et ${\displaystyle L}$ un compact non dénombrable inclus dans ${\displaystyle C}$ ∪ {${\displaystyle \Omega }$}. En appliquant l'étape 1 à la suite (${\displaystyle K}$, ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle L}$, ...), on trouve une infinité d'ordinaux éléments de ${\displaystyle K}$ ∩ ${\displaystyle L}$ mais pas égaux à ${\displaystyle \Omega }$ ; ce sont autant d'éléments de ${\displaystyle B}$ ∩ ${\displaystyle C}$.

Étape 3 : soit ℰ l'ensemble des parties ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ telles que ${\displaystyle \mu (A)=1}$ ou ${\displaystyle \mu (X}$\ ${\displaystyle A)=1}$. Cet ensemble ℰ est une tribu.

Preuve : la présence du vide et la stabilité par complémentaire sont claires, il convient de vérifier la stabilité par réunion dénombrable. Soit ${\displaystyle (A_{n})}$ une suite d'éléments de ℰ. Si l'un au moins vérifie ${\displaystyle \mu (A_{n})=1}$, il est clair que leur réunion aussi, donc qu'elle est dans ℰ ; le seul cas posant difficulté est ainsi celui où ${\displaystyle \mu (A_{n})=0}$ pour tout entier ${\displaystyle n}$. Par définition de ℰ, ceci entraîne que ${\displaystyle \mu (X}$\ ${\displaystyle A_{n})=1}$ pour chaque ${\displaystyle n}$, donc qu'il existe un compact non dénombrable ${\displaystyle K_{n}}$ inclus dans (${\displaystyle X}$\ ${\displaystyle A_{n})}$ ∪ {${\displaystyle \Omega }$}. En appliquant l'étape 1 à l'intersection de cette suite de compacts non dénombrables, on constate que le complémentaire de la réunion des ${\displaystyle A_{n}}$ est aussi un ensemble sur lequel ${\displaystyle \mu }$ vaut 1.

Étape 4 : la restriction de ${\displaystyle \mu }$ à la tribu ℰ est une mesure.

Preuve : Le point à vérifier est la σ-additivité. On va considérer une suite ${\displaystyle (A_{n})}$ d'éléments de ℰ deux à deux disjoints.

• Au vu de l'étape 2, il est impossible qu'il y ait plus d'un indice ${\displaystyle n}$ pour lequel ${\displaystyle \mu (A_{n})=1}$ ;

• S'il y a exactement un indice ${\displaystyle n}$ pour lequel ${\displaystyle \mu (A_{n})=1}$, l'additivité est évidente ;

• Supposons que ${\displaystyle \mu (A_{n})=0}$ pour tout ${\displaystyle n}$. La preuve de l'étape 3 a montré que le complémentaire de la réunion des ${\displaystyle A_{n}}$ était un ensemble sur lequel ${\displaystyle \mu }$ prenait la valeur 1 ; l'étape 2 prouve donc que sur la réunion des ${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle \mu }$ prend la valeur 0.

Étape 5 : tous les boréliens appartiennent à la tribu ℰ.

Preuve : la tribu borélienne étant engendrée par les fermés (c'est-à-dire ici les compacts), il suffit de montrer que tout compact est dans ℰ. On considère ${\displaystyle K}$, compact de ${\displaystyle X}$.

• Si ${\displaystyle K}$ n'est pas dénombrable, il contient un compact non dénombrable (lui-même !) et donc ${\displaystyle \mu (K)=1}$, ce qui prouve que ${\displaystyle K}$ est dans la tribu ℰ ;

• Si ${\displaystyle K}$ est dénombrable, il existe un ordinal dénombrable ${\displaystyle \alpha }$ strictement plus grand que tous les éléments de ${\displaystyle K}$ \ {${\displaystyle \Omega }$}. La considération du compact non dénombrable ${\displaystyle [\alpha ,\Omega ]}$ montre alors que ${\displaystyle \mu (X}$\ ${\displaystyle K)=1}$, donc que ${\displaystyle K}$ est dans ℰ.

• La mesure de Dieudonné n'est pas extérieurement régulière : la mesure du singleton {${\displaystyle \Omega }$} vaut 0, mais celle de tout ouvert le contenant vaut 1.
• Par passage au complémentaire sur cet exemple, on constate qu'elle n'est pas davantage intérieurement régulière : l'intervalle ${\displaystyle [0,\Omega [}$ est de mesure 1, mais tout compact contenu dans cet intervalle est de mesure nulle.
• La mesure de Dieudonné montre que des conditions relativement techniques de régularité sont incontournables dans l'énoncé du théorème de Riesz de représentation par une mesure, même sur un espace compact : sur l'espace des fonctions continues de ${\displaystyle X}$ vers R, la forme linéaire qui associe à chaque fonction ${\displaystyle f}$ la valeur ${\displaystyle f}$(${\displaystyle \Omega }$) peut être représentée comme l'intégrale de ${\displaystyle f}$ par rapport à la mesure de Dirac en ${\displaystyle \Omega }$, mais est aussi l'intégrale de ${\displaystyle f}$ par rapport à la mesure de Dieudonné[2].

Sauf note spécifique, l'ensemble de l'article est issu de la consultation de (en) Vladimir Bogacev, Measure Theory, vol. 2, Berlin, Springer, 2007, 575 p. (ISBN 978-3-540-34513-8 et 3-540-34513-2, lire en ligne), p. 68-69.