Matrice de Sylvester

Soient p et q deux polynômes non nuls, de degrés respectifs m et n

${\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.}$

La matrice de Sylvester associée à p et q est la matrice carrée ${\displaystyle (n+m)\times (n+m)}$[1] définie ainsi :

• la première ligne est formée des coefficients de p, suivis de zéros

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}$ ;

• la seconde ligne s'obtient à partir de la première par permutation circulaire vers la droite ;
• les n – 2 lignes suivantes s'obtiennent en répétant la même opération ;
• la ligne n + 1 est formée des coefficients de q, suivis de zéros

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}}$ ;

• les m – 1 lignes suivantes sont formées par des permutations circulaires.

Ainsi dans le cas m = 4 et n = 3, la matrice obtenue est

${\displaystyle S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.}$

Le déterminant de la matrice de p et q est appelé déterminant de Sylvester ou résultant de p et q.

Remarque : si m = 0 (p constant), alors la matrice n'a aucune ligne formée des coefficients de q ; c'est la matrice scalaire p₀ Id_n. De même, si n = 0, c'est la matrice q₀ Id_m. Si m = n = 0 (p et q constants), la matrice de Sylvester est la matrice vide donc le résultant de p et q vaut 1.

L'équation de Bézout d'inconnues les polynômes x (de degré < n) et y (de degré < m)

${\displaystyle xp+yq=0}$

peut être réécrite matriciellement

${\displaystyle (S_{p,q})^{t}{\begin{pmatrix}{\tilde {x}}\\{\tilde {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

dans laquelle t désigne la transposition, ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ est le vecteur de taille n des coefficients du polynôme x (dans l'ordre décroissant), et ${\displaystyle {\tilde {y}}}$ le vecteur de taille m des coefficients du polynôme y.

Ainsi le noyau de la matrice de Sylvester donne toutes les solutions de cette équation de Bézout avec ${\displaystyle \deg x<\deg q}$ et ${\displaystyle \deg y<\deg p}$.

Le rang de la matrice de Sylvester est donc relié au degré du PGCD de p et q.

${\displaystyle \deg(\mathrm {pgcd} (p,q))=m+n-\mathrm {rang} ~S_{p,q}.}$

Notamment, le résultant de p et q est nul si et seulement si p et q ont un facteur commun de degré supérieur ou égal à 1.