Marge d'erreur

Pour illustrer les concepts expliqués au cours de l'article, nous utiliserons l'exemple de la campagne présidentielle des États-Unis de 2004. Selon un sondage paru dans Newsweek, 47 % des électeurs voteraient pour John Kerry si l'élection avait lieu aujourd'hui. 45 % voteraient pour George W. Bush et 2 % pour Ralph Nader. La taille de l'échantillon est de 1 013 personnes interrogées, et la marge d'erreur est de ±4 ppc. Dans le reste de l'article, nous utiliserons l'intervalle de confiance de 99 %.

Un sondage nécessite de prendre un échantillon de la population. Dans le cas du sondage de Newsweek, la population prise en compte est les personnes qui voteront. Étant donné l'impossibilité d'interroger tous les électeurs, les instituts de sondage construisent des échantillons qui sont normalement représentatifs de la population. Il est possible qu'ils interrogent 1 013 personnes qui vont voter pour Bush alors que dans la réalité les électeurs sont partagés, mais c'est très peu probable si l'échantillon est suffisamment représentatif de la population.

Cette section discute brièvement l'erreur-type d'un résultat, l'intervalle de confiance et lie ces deux concepts à la marge d'erreur. Par principe de simplicité, les calculs estiment que le sondage est basé sur un échantillon aléatoire simple d'une grande population.

L'erreur-type d'une proportion ou d'un pourcentage p correspond à son niveau de précision et représente la déviation type de ce pourcentage. Elle peut être estimée à l'aide de p et de la taille de l'échantillon n, tant et aussi longtemps que n est plus petit que 5 % de la taille de la population N. Dans le cas du sondage commandé par Newsweek, le pourcentage de vote pour Kerry p = 0,47, et n = 1 013.

${\displaystyle {\text{Erreur-type = }}{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$

Pour obtenir la marge d'erreur, on multiplie simplement l'erreur-type par le ${\displaystyle Z_{\alpha }}$ obtenu du seuil de confiance. Selon le seuil de confiance qu'on désire utiliser, on ira chercher une certaine portion de l'aire sous la courbe normale (0,90, 0,95, ou 0,99) qui sera donc délimitée par ${\displaystyle \pm Z_{\alpha }}$, représentant le nombre d'écarts-types dont on s'éloignera autour du zéro.

${\displaystyle {\text{Marge d'erreur}}=e=Z_{\alpha }{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$

Pour un niveau de confiance de 95 %, ${\displaystyle Z_{\alpha }=1,96}$

Pour un niveau de confiance de 99 %, ${\displaystyle Z_{\alpha }=2,58}$

Notez que pour obtenir une marge d'erreur en %, il faut la multiplier par 100 : ${\displaystyle e\%=e\times 100}$

L'intervalle de confiance de la proportion se définit en soustrayant et additionnant la marge d'erreur à la proportion : ${\displaystyle p\pm e}$. Ou encore, avec le pourcentage : ${\displaystyle p\times 100\pm e\%}$

Celle-ci représente les bornes inférieurs et supérieurs dans lesquelles on retrouvera la vraie proportion dans la population. On présente habituellement un intervalle de confiance de pair avec le seuil de confiance qu'on a décidé d'utiliser. Par exemple, pour un seuil de confiance de 95 %, on dira : 19 fois sur 20 (donc dans 19 échantillons sur 20 fait sur la même population), le pourcentage se situera entre ${\displaystyle p\times 100-e\%}$ et ${\displaystyle p\times 100+e\%}$.

Pour un échantillonnage aléatoire simple provenant d'une très grande population, la marge d'erreur maximale devient une simple reformulation de la taille de l'échantillon n. Les numérateurs des équations suivantes sont arrondis à la deuxième décimale.

Marge d'erreur à 99 % ${\displaystyle \approx 1,29/{\sqrt {n}}\,}$

Marge d'erreur à 95 % ${\displaystyle \approx 0,98/{\sqrt {n}}\,}$

Marge d'erreur à 90 % ${\displaystyle \approx 0,82/{\sqrt {n}}\,}$

L'explication mathématique tient au fait que pour obtenir une marge d'erreur maximale, on utilise la valeur maximale de ${\displaystyle p}$ de 0,50. On arrive donc à :

${\displaystyle e_{max}={\frac {Z_{\alpha }\times 0,5}{\sqrt {n}}}}$

La marge d'erreur n'est pas complètement définie si l'intervalle de confiance n'est pas rapporté. Si un article à propos d'un sondage ne donne pas l'intervalle de confiance, la marge d'erreur peut être approximée pour le degré de confiance désiré à l'aide de la taille de l'échantillon grâce aux formules données ci-dessus. De plus, si la marge d'erreur à 95 % est donnée, il est possible de calculer la marge d'erreur à 99 % en l'augmentant d'environ 30 %.

La formule tout juste présentée pour la marge d'erreur suppose une population infiniment grande et ne dépend donc pas de la taille de la population qui nous intéresse. Selon la théorie de l'échantillonnage, cette supposition est raisonnable lorsque la fraction d'échantillonnage est petite. La marge d'erreur pour un échantillon particulier est essentiellement la même peu importe que la population d'intérêt soit de la taille d'une école, d'une ville, d'une province, ou d'un pays, tant et aussi longtemps que la fraction d'échantillonnage est de moins de 5 % (en d'autres mots, lorsque la population est moins grande que 20 fois l'échantillon).

Dans les cas où la fraction d'échantillonnage excède 5 %, les analystes peuvent ajuster la marge d'erreur à l'aide du facteur de correction pour population finie qui se calcule selon la formule suivante :

${\displaystyle {\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}}$

La formule complète devient donc :

${\displaystyle e=Z_{\alpha }{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}{\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}}$

Afin d'ajuster la marge d'erreur pour une grande fraction d'échantillonnage, le facteur de correction réduit celle-ci. La formule soutient que plus la taille de l'échantillon n approche la taille de la population N, plus le facteur de correction se rapproche de zéro ce qui a pour effet de diminuer la taille de la marge d'erreur. Ceci est intuitivement logique puisqu'un échantillon de la taille de la population (n = N) devient un recensement, cas pour lequel la marge d'erreur perd généralement de son utilité.

Pour déterminer si deux pourcentages sont significativement différents l'un de l'autre, on pourrait simplement vérifier s'il y a chevauchement entre eux. Pour ce faire, il suffit d'additionner la marge d'erreur du plus petit pourcentage à celui-ci, et soustraire celle du plus grand à ce dernier. Il ne reste qu'à vérifier si les valeurs se chevauchent. Dans le cas où il y a chevauchement, on dira que les deux pourcentages ne sont pas significativement différents, et vice versa.

Par contre, il y a aussi moyen de calculer la différence minimale requise entre les deux pourcentage pour qu'ils soient significativement différent de sorte à obtenir un résultat un peu moins conservateur.

Pour deux proportions qui proviennent d'un même échantillon, on utilisera le calcul suivant :

${\displaystyle e_{diff}=Z_{\alpha }{\sqrt {\frac {(p_{1}+p_{2})-(p_{1}-p_{2})^{2}}{n}}}}$

où ${\displaystyle p_{1}}$ représente la première proportion, ${\displaystyle p_{2}}$ la deuxième, et ${\displaystyle n}$ la taille de l'échantillon.

Pour deux proportions qui proviennent de deux échantillons différents, par exemple de deux sondages, le calcul devient :

${\displaystyle e_{diff}=Z_{\alpha }{\sqrt {{\frac {p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}}}+{\frac {p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}}}}}$

où ${\displaystyle p_{1}}$ est la première proportion, ${\displaystyle p_{2}}$ la deuxième, ${\displaystyle n_{1}}$ la taille du premier échantillon, et ${\displaystyle n_{2}}$ la taille du deuxième échantillon.

Cette formule s'approche cependant mathématiquement de cette version simplifiée :

${\displaystyle e_{diff}=Z_{\alpha }{\sqrt {\frac {2p(1-p)}{n}}}}$

où ${\displaystyle p}$ représente la moyenne entre ${\displaystyle p_{1}}$ et ${\displaystyle p_{2}}$, et ${\displaystyle n}$ la moyenne entre ${\displaystyle n_{1}}$ et ${\displaystyle n_{2}}$.

${\displaystyle e_{diff}}$ représente la différence minimale qu'on doit retrouver entre ${\displaystyle p_{1}}$ et ${\displaystyle p_{2}}$ pour que celle-ci puisse être considérée comme significative. Pour l'obtenir en %, simplement effectuer ${\displaystyle e_{diff}\times 100}$.

La marge d'erreur est fréquemment utilisée d'une mauvaise façon pour déterminer si un pourcentage est supérieur à un autre. La statistique qui doit être utilisée dans ce cas est simplement la probabilité qu'un pourcentage soit supérieur à un autre. Le tableau ci-dessous présente les « probability of leading » de deux candidats, en l'absence d'autres candidats, et en prenant un niveau de 95 % de confiance:

Par exemple, la probabilité que John Kerry gagne face à George Bush selon les données du sondage de Newsweek (une différence de 2 % et une marge d'erreur de 3 %) est d'environ 74,3 %, à condition qu'ils aient utilisé un niveau de 95 % de confiance. Voici la même table pour un niveau de 99 % de confiance:

Si le sondage réalisé pour Newsweek utilise un niveau de 99 % de confiance, alors la probabilité que Kerry gagne face à Bush serait de 74,1 %. (La marge d'erreur passe à 4 %). Dès lors, il semble évident que le niveau de confiance a un impact significatif sur la probabilité de gagner.

• Erreur statistique
• Erreur (métrologie)
• Critères de dispersion