Métrique de Kerr-Schild

Une métrique de Kerr-Schild est définie comme étant de la forme

${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}+2Vk_{a}k_{b}}$,

${\displaystyle \eta _{ab}}$ étant une métrique de l'espace de Minkowski, V une fonction quelconque et ${\displaystyle k_{a}}$ un quadrivecteur de genre lumière.

Une propriété immédiate relative au quadrivecteur ${\displaystyle k_{a}}$ est que ses indices peuvent être montés et descendus soit à l'aide de la vraie métrique ${\displaystyle g_{ab}}$, soit avec la métrique sous-jacente ${\displaystyle \eta _{ab}}$.

Les symboles de Christoffel jouissent des propriétés suivantes :

${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}k^{b}k^{c}=0}$,

${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}k_{a}k_{c}=0}$,

ce qui implique

${\displaystyle k^{b}D_{b}k^{a}=k^{b}\partial _{b}k^{a}}$,

${\displaystyle k^{b}D_{b}k_{a}=k^{b}\partial _{b}k_{a}}$,

(D étant la dérivée covariante associée à la métrique g) ainsi que

${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}k_{a}=k^{e}D_{e}(Vk_{b}k_{c})}$,

${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}k_{c}=-k^{e}D_{e}(Vk^{a}k_{b})}$.

Le déterminant de la métrique g est, lui, identique à celui de la métrique η. En particulier, si le système de coordonnées est choisi de façon que les coordonnées soit des coordonnées cartésiennes vis-à-vis de η, alors, dans l'hypothèse où l'on se place dans un système d'unités géométriques (où la vitesse de la lumière vaut 1),

${\displaystyle {\sqrt {|g|}}=1}$.

L'équation ${\displaystyle k^{b}D_{b}k^{a}=0}$ signifie que k est une géodésique. Par conséquent, d'après une des égalités précédentes, si k est une géodésique vis-à-vis de la métrique g, il l'est aussi vis-à-vis de la métrique η et inversement.

• Roy Kerr
• Alfred Schild
• Trou noir de Kerr

• (en) D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum et E. Herlt, Exact solutions of Einstein’s field equations, Cambridge, Cambridge University Press, 1980, 428 p. (ISBN 0521230411), page 298 et suivantes.