Méthode de Crank-Nicolson

Même si la méthode de Crank-Nicolson ressemble à la moyenne temporelle de ce que donnent les méthodes d'Euler progressive et régressive, ce n’est pas le cas, car l’équation dépend implicitement de la solution.

On considère un problème à une dimension spatiale et en temps, de la forme :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=F\left(u,\,x,\,t,\,{\frac {\partial u}{\partial x}},\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

dont on souhaite évaluer les valeurs ${\displaystyle u_{i}^{n}=u(i\Delta x,\,n\Delta t)\,}$.

En partant des deux versions de la méthode d'Euler

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n}\left(u,\,x,\,t,\,{\frac {\partial u}{\partial x}},\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)\qquad {\mbox{(progressive)}}}$

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n+1}\left(u,\,x,\,t,\,{\frac {\partial u}{\partial x}},\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)\qquad {\mbox{(régressive)}}}$

la méthode de Crank-Nicolson s'obtient en faisant la moyenne des deux égalités :

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}={\frac {1}{2}}\left[F_{i}^{n+1}\left(u,\,x,\,t,\,{\frac {\partial u}{\partial x}},\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)+F_{i}^{n}\left(u,\,x,\,t,\,{\frac {\partial u}{\partial x}},\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)\right].}$

La méthode est considérée comme implicite, car elle nécessite la résolution d'équations algébriques (correspondant au second membre de la méthode d'Euler régressive).

Cette méthode est inconditionnellement stable, mais nécessite certaines conditions de régularité sur les équations à résoudre pour que le résultat ait une précision satisfaisante[2].