Longueur de Monin-Obukhov

Soit q le flux de chaleur sensible (exprimé en K m /s) défini par :

${\displaystyle q={H \over C_{p}\rho }}$

où ${\displaystyle C_{p}}$ la capacité thermique massique, H est le flux d'énergie reçue par le sol (en W/m²) et ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique de l'air.

La longueur d'Obukhov dépend de la turbulence et du flux de chaleur sensible H selon[2] :

${\displaystyle L=-{{u_{\ast }^{3}{\overline {{\theta }_{v}}}} \over {kgq}}}$

On obtient donc :

${\displaystyle L=-{\frac {u_{\ast }^{3}\ {\overline {{\theta }_{v}}}}{kg\ \left({\frac {H}{\rho C_{p}}}\right)}}}$

où ${\displaystyle u_{\ast }}$ est la vitesse de frottement, ${\displaystyle {\bar {\theta }}_{v}}$ est la température potentielle virtuelle moyenne, ${\displaystyle \rho }$ est la masse volumique de l'air, ${\displaystyle C_{p}}$ sa capacité thermique massique, g l'accélération de la pesanteur et k est la constante de von Kármán.

Soit ${\displaystyle Z_{m}}$ l'épaisseur de la couche limite. On rappelle que la vitesse convective ${\displaystyle w_{\ast }}$ est définie par :

${\displaystyle w_{\ast }=\left({\frac {qZ_{m}g}{\theta _{v}}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

On obtient donc :

${\displaystyle q={\frac {\overline {{\theta }_{v}}}{Z_{m}g}}w_{\ast }^{3}}$

En remplaçant q dans l'expression de L, l'on obtient simplement :

${\displaystyle L=-{Z_{m}u_{\ast }^{3} \over w_{\ast }^{3}}}$

On utilise couramment le paramètre de stabilité, ${\displaystyle \zeta }$ défini comme z/L, où z est la hauteur de mesure :

${\displaystyle \zeta ={\frac {z}{L}}=-{\frac {kgz\ {\left({\frac {H}{\rho C_{p}}}\right)}}{u_{\ast }^{3}\ {\overline {{\theta }_{v}}}}}}$

Pour déterminer si une rue de nuages va se former ou non, on doit évaluer ${\displaystyle Z_{m}/L}$ et on doit donc évaluer ${\displaystyle \left({w_{\ast } \over u_{\ast }}\right)^{3}}$.

Une interprétation physique de L est donnée par la théorie de la similitude de Monin-Obukhov : en conditions instables, -L est l'altitude à laquelle la production d'énergie cinétique turbulente par flottabilité égale celle par cisaillement du vent.

Le paramètre de stabilité est utilisé comme échelle pour caractériser le degré d'instabilité ou de stabilité de la couche limite. ${\displaystyle \zeta }$ est nul en conditions neutres, négatif en conditions instables (typiquement pendant la journée) et positif en conditions stables (typiquement pendant la nuit). ${\displaystyle \zeta }$ est d'autant plus grand (en valeur absolue) que la stabilité ou l'instabilité sont importantes.

• (en) Kaimal JC, Finnigan JJ, Atmospheric boundary layer flows : their structure and measurement, Oxford University Press, 1994, 289 p.