Loi log-Laplace

La densité de probabilité de la loi log-Laplace avec paramètres ${\displaystyle \mu }$ et b est donnée par[1] :

${\displaystyle f(x|\mu ,b)={\begin{cases}{\frac {1}{2bx}}\exp \left(-{\frac {|\ln x-\mu |}{b}}\right)&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}$

${\displaystyle ={\begin{cases}{\frac {1}{2bx}}\exp \left(-{\frac {\mu -\ln x}{b}}\right)&{\text{ pour }}x>0{\text{ et si }}x<e^{\mu }\\{\frac {1}{2bx}}\exp \left(-{\frac {\ln x-\mu }{b}}\right)&{\text{ pour }}x>0{\text{ et si }}x\geq e^{\mu }\\0&{\text{ pour }}x<0.\end{cases}}}$

Par les changements de variables : ${\displaystyle \delta =e^{\mu }}$ et ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{b}}-1}$, la densité s'écrit sous le forme obtient :

${\displaystyle f(x|\delta ,\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\delta }}{\frac {\beta }{2}}\left({\frac {x}{\delta }}\right)^{\beta -1}&{\text{ si }}0<x<\delta \\{\frac {1}{\delta }}{\frac {\beta }{2}}\left({\frac {\delta }{x}}\right)^{\beta +1}&{\text{ si }}\delta <x\end{cases}}}$

La fonction de répartition de la loi log-Laplace de paramètres ${\displaystyle \mu }$ et b est donnée par :

${\displaystyle F(y)={\begin{cases}{\frac {1}{4bx}}\left[1+\operatorname {sgn}(\log(y)-\mu )\,(1-e^{-{\frac {|\log(y)-\mu |}{b}}})\right]&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

En fonction des paramètres, la loi log-Laplace peut ou peut ne pas avoir de moyenne finie et de variance finie[2].

Il existe la généralisation[2] suivante de la loi log-Laplace incluant un nouveau paramètre, c'est la loi log-Laplace à trois paramètres définie par la densité de probabilité :

${\displaystyle f(x|\delta ,\alpha ,\beta )={\begin{cases}0&{\text{ si }}x<0\\{\frac {1}{\delta }}{\frac {\alpha \beta }{\alpha +\beta }}\left({\frac {x}{\delta }}\right)^{\beta -1}&{\text{ si }}0<x<\delta \\{\frac {1}{\delta }}{\frac {\alpha \beta }{\alpha +\beta }}\left({\frac {\delta }{x}}\right)^{\alpha +1}&{\text{ si }}\delta <x\end{cases}}}$

avec ${\displaystyle \alpha >0}$, ${\displaystyle \beta >0}$, ${\displaystyle \delta >0}$. La fonction de répartition de la loi log-Laplace à trois paramètres est

${\displaystyle F(y|\delta ,\alpha ,\beta )={\begin{cases}0&{\text{ si }}y<0\\{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\left({\frac {x}{\delta }}\right)^{\beta }&{\text{ si }}0<x<\delta \\1-{\frac {\beta }{\alpha +\beta }}\left({\frac {\delta }{x}}\right)^{\alpha }&{\text{ si }}\delta <x.\end{cases}}}$

• Si ${\displaystyle Y\sim LL(\delta ,\alpha ,\beta )}$, alors pour tout ${\displaystyle c>0}$, ${\displaystyle cY\sim LL(c\delta ,\alpha ,\beta )}$,
• Si ${\displaystyle Y\sim LL(\delta ,\alpha ,\beta )}$, alors, ${\displaystyle {\frac {1}{Y}}\sim LL({\frac {1}{\delta }},\alpha ,\beta )}$

• ${\displaystyle LL(1,\infty ,\beta ):=\lim _{\alpha \rightarrow \infty }LL(1,\alpha ,\beta )\sim \mathrm {Beta} (\beta )}$ (loi bêta),
• ${\displaystyle LL(1,\alpha ,\infty ):=\lim _{\beta \rightarrow \infty }LL(1,\alpha ,\beta )\sim \mathrm {Pareto} (\alpha )}$ (distribution de Pareto).