Loi de Curie

Aimantation d'un matériau paramagnétique en fonction de la température inverse

Un modèle simple de matériau paramagnétique définit les particules qui le composent. Chaque particule possède un moment magnétique ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$. L'énergie associée à ce moment magnétique dans un champ magnétique est donnée par :

${\displaystyle E=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}}$

Pour simplifier les calculs, on considère le matériau paramagnétique a 2 états, c’est-à-dire que chaque particule va aligner son moment magnétique avec le champ magnétique, dans le même sens ou en s'y opposant. Les autres orientations ne sont pas prises en compte. La particule a donc 2 énergies possibles

${\displaystyle E_{0}=\mu B}$

et

${\displaystyle E_{1}=-\mu B}$

Avec cette information nous pouvons déterminer la fonction de partition d'une particule, avec ${\displaystyle \beta =1/k_{\rm {B}}T}$

${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-E_{n}\beta }=e^{-\mu B\beta }+e^{\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right)}$

La fonction présente les deux effets, un s'intéresse à l'aimantation du matériau, l'autre à la probabilité de la particule de s'aligner avec le champ magnétique. En d'autres termes, on détermine la valeur attendue de l'orientation magnétique du matériau.

${\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }\mu _{n}P\left(\mu _{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu _{n}{e^{\mu _{n}B\beta } \over Z}={1 \over Z}\sum _{n=0}^{\infty }{\partial _{\beta }e^{\mu _{n}B\beta } \over B}={1 \over B}{1 \over Z}\partial _{\beta }Z}$

${\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle ={1 \over 2B\cosh \left(\mu B\beta \right)}2\mu B\sinh \left(\mu B\beta \right)=\mu \tanh \left(\mu B\beta \right)}$

On a ainsi l'aimantation d'une particule, qu'on peut extrapoler au matériau

${\displaystyle M=N\left\langle \mu \right\rangle =N\mu \tanh \left({\mu B \over k_{\rm {B}}T}\right)}$

La formule ci-dessus est connue sous le nom de l'équation paramagnétique de Langevin.

Pierre Curie trouva une approximation de cette loi qui pouvait s'appliquer à ses expérimentations à hautes températures et faible champ magnétique. Lorsque la température augmente (${\displaystyle T}$ grand), et le champ magnétique reste faible (${\displaystyle B}$ petit), l'argument de la tangente hyperbolique diminue :

${\displaystyle \left({\mu B \over k_{\rm {B}}T}\right)\ll 1}$

On parle dans ce cas de régime de Curie. Nous savons aussi que si ${\displaystyle |x|<<1}$, alors

${\displaystyle \tanh x\approx x}$

donc (et en tenant compte de l'expression à trois dimensions de la fonction de Langevin) :

${\displaystyle \mathbf {M} \approx {N\mu ^{2} \over 3k_{\rm {B}}}{\mathbf {B} \over T}}$ et la constante de Curie vaut : ${\displaystyle C={N\mu ^{2} \over 3k_{\rm {B}}}}$

La loi de Curie est le principe de base des thermomètres magnétiques, qui sont utilisés pour mesurer les très basses températures.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Curie's law » (voir la liste des auteurs).