Loi de Bates

La loi de Bates est la loi de probabilité de la moyenne arithmétique de n variables aléatoires U₁, U₂, ... , U_n iid de loi uniforme continue sur l'intervalle [0 ; 1] :

${\displaystyle X={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}.}$

La densité de probabilité de la loi de Bates est donnée par la formule suivante[2] :

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {n^{n}}{\left(n-1\right)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor nx\rfloor }\left(-1\right)^{k}{n \choose k}\left(x-{\frac {k}{n}}\right)^{n-1}&{\text{ pour }}x\in ]0,1[\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$

Plus généralement, la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [a , b] :

${\displaystyle X_{(a,b)}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}(a,b)}$

a pour densité de probabilité

${\displaystyle g(x;n,a,b)={\frac {1}{b-a}}f_{X}\left({\frac {x-a}{b-a}};n\right){\text{ pour }}a\leq x\leq b.\,}$