Loi Poisson binomiale

Puisque la loi Poisson binomiale est une somme de n variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli, son espérance et sa variance sont simplement les sommes des espérances et variances des lois de Bernoulli :

${\displaystyle \mu =\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}.}$

La probabilité d'obtenir ${\displaystyle k}$ succès sur un total de n essais peut être écrit comme la somme[1] :

${\displaystyle \mathbb {P} (K=k)=\sum \limits _{A\in F_{k}}{\prod \limits _{i\in A}{{p}_{i}}\prod \limits _{j\in {{A}^{c}}}{(1-{{p}_{j}})}}}$

où ${\displaystyle F_{k}}$ est l'ensemble de tous les sous-ensembles de ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ contenant ${\displaystyle k}$ éléments. Par exemple si n=3, alors ${\displaystyle F_{2}=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\right\}}$. ${\displaystyle A^{c}}$ est le complémentaire de ${\displaystyle A}$.

L'ensemble ${\displaystyle F_{k}}$ contient ${\textstyle {n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}}$ éléments, ainsi les calculs deviennent très grands en pratique, par exemple pour n=30, ${\displaystyle F_{15}}$ contient un nombre de l'ordre de 10²⁰ éléments. Il existe cependant des méthodes efficaces pour calculer ${\displaystyle \mathbb {P} (K=k)}$.

On peut utiliser une formule itérative[2] - [3] :

${\displaystyle \mathbb {P} (K=k)=\left\{{\begin{aligned}&\prod \limits _{i=1}^{n}{(1-{{p}_{i}})}\qquad k=0\\&{\frac {1}{k}}\sum \limits _{i=1}^{k}{{{(-1)}^{i-1}}\mathbb {P} (K=k-i)T(i)}\qquad k>0\\\end{aligned}}\right.}$

où ${\displaystyle T(i)=\sum \limits _{j=1}^{n}{{\left({\frac {{p}_{j}}{1-{{p}_{j}}}}\right)}^{i}}}$ .

Une autre possibilité est d'utiliser la transformée de Fourier discrète[4] :

${\displaystyle \mathbb {P} (K=k)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{l=0}^{n}{{C^{lk}}\prod \limits _{m=1}^{n}{\left(1+({C^{l}}-1){p_{m}}\right)}}}$

où ${\displaystyle C=\exp \left(-{\frac {2{\rm {i}}\pi }{n+1}}\right)}$ avec i l'unité imaginaire.

D'autres méthodes sont décrites dans les ouvrages de Chen[5].