Logique et raisonnement mathématique

Commençons par examiner deux faits :

premier fait : ${\displaystyle x=2}$

deuxième fait : ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$.

Le deuxième fait découle du premier fait. En effet, si ${\displaystyle x=2}$, nous pouvons remplacer ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle 2}$ dans l'expression ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ et nous constatons que ${\displaystyle 2^{2}-(3\times 2)+2=0}$.
Nous dirions donc que

• ${\displaystyle x=2}$ implique ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$

ou que

• ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ découle de ${\displaystyle x=2}$

On écrit aussi

si ${\displaystyle x=2}$ alors ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$

ou encore

${\displaystyle x=2}$ est suffisante pour que ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$

ou encore

${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ est nécessaire quand ${\displaystyle x=2}$.

Toutes ces formulations sont des conventions que les mathématiciens ont choisies[note 1] pour mettre de la rigueur dans leurs raisonnements. Dans ce que l'on vient de dire, ce qui lie ${\displaystyle x=2}$ à ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ s'appelle une implication. Plus précisément l'affirmation que cette implication est vraie s'appelle une déduction, une déduction est une étape de base d'une démonstration.

En fait, quand on écrit ${\displaystyle x=2}$ implique ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ on s'aperçoit que ${\displaystyle x=2}$ dit quelque chose de plus fort que ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$. En faisant une implication on perd de l'information.

En revanche, pouvons-nous dire

• ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ implique ${\displaystyle x=2}$ ?

Non, parce qu'avec ${\displaystyle x=1}$ on peut affirmer aussi que ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$, en effet ${\displaystyle 1^{2}-}$ (3 x 1 ) ${\displaystyle +2=0}$. Pour pouvoir dire quelque chose avec les affirmations ${\displaystyle x=2}$ et ${\displaystyle x=1}$, il faut les combiner pour former un seul fait. Ce fait est une nouvelle affirmation :

${\displaystyle x=2}$ ou ${\displaystyle x=1}$.

L'opération logique qui combine deux affirmations par un ou s'appelle une disjonction.

La théorie des équations du second degré nous dit que nous pouvons écrire :

${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ implique ${\displaystyle x=2}$ ou ${\displaystyle x=1}$

ou encore

si ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ alors ${\displaystyle x=2}$ ou ${\displaystyle x=1}$.

Comment combiner deux faits en disant qu'il n'y a pas d'information perdue quand on passe de l'un à l'autre ou de l'autre à l'un, en disant qu'ils affirment exactement la même chose? Sur les faits ci-dessus cela s'écrit :

${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ est équivalent à ${\displaystyle x=2}$ ou ${\displaystyle x=1}$

ou bien

${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ si et seulement si ${\displaystyle x=2}$ ou ${\displaystyle x=1}$

ou bien

${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ est nécessaire et suffisant pour que ${\displaystyle x=2}$ ou ${\displaystyle x=1}$

ou bien

${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ est une condition nécessaire et suffisante pour que ${\displaystyle x=2}$ ou ${\displaystyle x=1}$.

Cette combinaison s'appelle une équivalence. Comme une équivalence va dans les deux sens on peut aussi écrire :

${\displaystyle x=2}$ ou ${\displaystyle x=1}$ est équivalent à ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$

ou bien

${\displaystyle x=2}$ ou ${\displaystyle x=1}$ si et seulement si ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$

ou bien encore

${\displaystyle x=2}$ ou ${\displaystyle x=1}$ ssi ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ qui est une forme raccourcie du précédent, etc.

Jusqu’ici, nous avons parlé de faits ou d’affirmations. En logique, on emploie dans ce cas, le nom de proposition. Ainsi ${\displaystyle x=2}$ est une proposition. On peut même donner aux propositions des noms qui sont des lettres, par exemple, on pourra écrire ${\displaystyle A}$ implique ${\displaystyle B}$. On peut voir donc que ${\displaystyle A}$ implique ${\displaystyle B}$ fonctionne un peu comme ${\displaystyle x+y}$ en arithmétique. On peut donc aussi « calculer » sur les propositions, on parle d'ailleurs de calcul des propositions quand on parle de cette façon de calculer. Mais à la différence de l'arithmétique, où on dit que ${\displaystyle +}$ est un opérateur, on dit que implique est un connecteur[note 2]. C'est plus une question d'habitude, chez les logiciens, que vraiment un concept différent. Nous avons vu trois connecteurs :

• implique,
• ou,
• équivalent.

En arithmétique, on n'écrit pas ${\displaystyle x}$ plus ${\displaystyle y}$, mais bien ${\displaystyle x+y}$. En calcul des propositions, on utilise des notations comme ${\displaystyle +}$ pour les connecteurs et on écrit

• ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ pour ${\displaystyle A}$ implique ${\displaystyle B}$,
• ${\displaystyle A\vee B}$ pour ${\displaystyle A}$ ou ${\displaystyle B}$,
• ${\displaystyle A\Leftrightarrow B}$ pour ${\displaystyle A}$ équivalent à ${\displaystyle B}$,

On ne peut pas dire que ${\displaystyle x=1}$ implique ${\displaystyle x=2}$. Par contre on peut dire que si ${\displaystyle x}$ vaut ${\displaystyle 1}$ alors ${\displaystyle x}$ ne vaut pas ${\displaystyle 2}$: pour cela il faut pouvoir dire que l'on n'a pas ${\displaystyle x=2}$. Pour cela, on introduit un connecteur qui ressemble au ${\displaystyle -}$ unaire en arithmétique, celui qui remplace ${\displaystyle 1}$ par ${\displaystyle -1}$. Ce connecteur est appelé la négation et se note non. On peut donc écrire :

${\displaystyle x=1}$ implique non ${\displaystyle x=2}$

ou encore

si ${\displaystyle x=1}$ alors non ${\displaystyle x=2}$.

La notation formelle de non est ${\displaystyle \neg }$. On écrira ${\displaystyle \neg (x=2)}$ au lieu de non ${\displaystyle x=2}$. Mais très souvent, on utilisera une écriture encore plus condensée, à savoir ${\displaystyle x\neq 2}$.

Nous avons vu que l'on ne peut pas affirmer que

${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ implique ${\displaystyle x=2}$,

par contre on peut renforcer la première proposition (celle qui est à gauche du implique) en disant que l'on cherche des ${\displaystyle x}$ qui sont plus grands que ${\displaystyle 1}$. Autrement dit, on veut ajouter la condition ${\displaystyle x>1}$ à ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$. Pour cela on crée la proposition :

${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ et ${\displaystyle x>1}$.

On a introduit un nouveau connecteur et et grâce à lui on peut énoncer :

${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ et ${\displaystyle x>1}$ implique ${\displaystyle x=2}$.

Là nous commençons à entrevoir un petit problème. Est-ce que dans la proposition précédente nous avons voulu dire que nous avions d'une part

${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$

et d'autre part,

${\displaystyle x>1}$ implique ${\displaystyle x=2}$

ou bien est-ce que nous avons voulu dire que

${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ et ${\displaystyle x>1}$

implique

${\displaystyle x=2}$ ?

C'est bien la deuxième intention que nous avions en tête. Pour lever toute ambiguïté, on utilise des parenthèses et on écrit :

(${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$ et ${\displaystyle x>1}$) implique ${\displaystyle x=2}$.

Le et se note formellement ${\displaystyle \wedge }$. Ainsi la proposition ci-dessus peut s'écrire[note 3] :

${\displaystyle (x^{2}-3x+2=0~\wedge ~x>1)~~\Rightarrow ~~x=2}$.

Ainsi nous pouvons dire que si nous avons ${\displaystyle A}$ et si nous avons ${\displaystyle A}$ implique ${\displaystyle B}$ alors nous avons ${\displaystyle B}$. Cela veut dire que si nous avons pour but de démontrer ${\displaystyle B}$, alors nous pourrons nous donner deux sous-buts (deux buts intermédiaires)[note 4] : démontrer ${\displaystyle A}$ et démontrer ${\displaystyle A}$ implique ${\displaystyle B}$, alors seulement nous pourrons en utilisant la règle ci-dessus démontrer ${\displaystyle B}$. Comme dans le deuxième sous-but, on avait une implication et que dans le but final, il n'y a plus d'implication. On appelle cette règle le modus ponens.

Par exemple, supposons que nous ayons démontré[note 5] que ${\displaystyle x=2}$ et puisque nous avons ${\displaystyle x=2}$ implique ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$, nous pouvons en déduire que ${\displaystyle x^{2}-3x+2=0}$.

Comme on vient de le voir, il faut que nous ayons des moyens de démontrer des implications. On utilise pour cela une règle qui « introduit » une implication. Elle fonctionne comme suit. Mettons que nous voulions démontrer ${\displaystyle A}$ implique ${\displaystyle B}$. Nous ajoutons ${\displaystyle A}$ à nos hypothèses admises et nous essayons de démontrer ${\displaystyle B}$. Si nous réussissons, nous pouvons affirmer ${\displaystyle A}$ implique ${\displaystyle B}$ et nous pouvons l'utiliser par la suite.

Il y a des règles pour les autres connecteurs comme ou ou et, mais aussi pour les quantificateurs.

Dans l'induction, le mathématicien part de constats expérimentaux, puis les généralise en trouvant une « loi » qui les unifie. Par exemple, on constate que si l'on trace un triangle dont l'un des côtés est le diamètre d'un cercle, et les 3 sommets de ce triangle coïncident avec la périphérie du cercle, alors ce triangle est rectangle[note 6]. L'induction est une heuristique, c'est-à-dire une méthode qui aide à construire ensuite un raisonnement mathématique rigoureux ; en aucun cas elle ne constitue une démonstration mathématique.

Dans la déduction, on part d'hypothèses et on essaye de construire des enchaînements logiques pour aboutir à la démonstration du théorème. Cette démarche peut conduire à un point où il n'y a plus de nouvelle déduction à faire sans qu'une démonstration ait été atteinte (voie sans issue). Cela nécessite un retour en arrière pour emprunter une autre voie (c'est-à-dire une autre déduction). Cette approche purement déductive peut-être coûteuse, parce que le nombre de voies à explorer est extrêmement grand. Il peut être intéressant alors d'avoir une idée même intuitive et incomplète de la « bonne » direction et de « mesurer » de combien on se rapproche de la solution (voir Retour sur trace). La déduction doit donc être combinée avec d’autres heuristiques.

On cherche une démonstration en scindant le problème en cas.

Exemple : A-t-on, pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n^{2}+n}$ pair?

La proposition est : « ${\displaystyle n^{2}+n}$ est pair pour tout entier naturel n »

L'heuristique est : « on raisonne par disjonction des cas ».

Cas 1 : on considère ${\displaystyle n}$ pair, soit ${\displaystyle n=2k}$ avec ${\displaystyle k}$ un entier naturel.

${\displaystyle n^{2}+n=(2k)^{2}+2k=4k^{2}+2k=2*(2k+k)}$ qui est un nombre pair.

Cas 2 : on considère ${\displaystyle n}$ impair, soit ${\displaystyle n=2k+1}$ avec ${\displaystyle k}$ un entier naturel.

${\displaystyle n^{2}+n=(2k+1)^{2}+2k+1=4k^{2}+4k+1+2k+1=2(2k^{2}+3k+1)}$ qui est un nombre pair. Ainsi, pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$ (pair ou impair), on a ${\displaystyle n^{2}+n}$ pair.

Si on a une démonstration pour chacun des cas, on a une démonstration du problème général.

On suppose la négation de ce que l'on veut montrer, puis on montre que cela conduit à une absurdité.

A lieu de montrer que A implique B on montre que la négation de B implique la négation de A.

Par un processus par étape, on démontre qu'une propriété est vraie pour tous les entiers ou pour toute structure mathématique qui ressemble aux entiers.

On analyse des solutions candidates potentielles et l'on élimine, parmi celles-ci, celles qui ne sont pas d'authentiques solutions. On obtient ainsi une véritable démonstration parmi les candidates non éliminées.

Cette méthode de démonstration s'appuie sur le modus ponens (voir supra)[1] - [2]: pour démontrer Q, il suffit de démontrer d'une part P (l'« hypothèse auxiliaire ») et d'autre part P ⇒ Q.

Le théorème d'élimination des coupures démontre que cette "hypothèse auxiliaire" utilisée dans la démonstration peut toujours être contournée. L'idée étant que si par exemple avec le modus ponens qui est un cas particulier de la règle de coupure, dans un contexte (soit une théorie mathématique), on a besoin de A et de A implique B pour démontrer B, alors on peut trouver dans ce contexte, une preuve directe de B sans faire intervenir A.

L'utilisation d'une hypothèse auxiliaire correspond à un raccourci dans la longueur d'une démonstration, au sens où transformer une démonstration formelle utilisant la règle de coupure en une démonstration ne l'utilisant pas amène bien souvent à une démonstration utilisant exponentiellement plus de fois les règles d'inférence d'un système à la Gentzen comme la déduction naturelle.