Lemme de symétrisation

Il existe différents énoncés de ce lemme : Pollard utilise la version de la symétrisation avec des processus stochastiques[1] mais il existe des versions faisant intervenir l'erreur de généralisation d'un échantillon[2]. Soit ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(X_{t}')_{t\in T}}$ des processus stochastiques indépendants indexés par un ensemble ${\displaystyle T}$. Supposons qu'il existe des constantes ${\displaystyle \alpha >0,\beta >0}$ tel que

${\displaystyle \forall t\in T,\quad \mathbb {P} \left(|X_{t}'|\leq \alpha \right)\geq \beta .}$

Alors,

${\displaystyle \forall t\in T,\forall \varepsilon >0,\quad \mathbb {P} \left(\sup _{t\in T}|X_{t}|>\varepsilon \right)\leq \beta ^{-1}\mathbb {P} \left(\sup _{t\in T}|X_{t}-X_{t}'|>\varepsilon -\alpha \right).}$

En particulier en posant

• ${\displaystyle X_{t}=P_{n}(t)-P(t)}$ où ${\displaystyle P_{n}}$ est la mesure empirique et ${\displaystyle P}$ la loi des variables aléatoires ${\displaystyle (Y_{i})_{i\in \mathbb {N} ^{*}}}$ indépendantes et identiquement distribuées sur laquelle la mesure empirique est basée, i.e. ${\displaystyle P_{n}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{Y_{i}\leq t\}}}$ et ${\displaystyle P(t)=F_{Y}(t)}$ avec ${\displaystyle F_{Y}}$ la fonction de répartition de Y ;
• ${\displaystyle X_{t}'=P_{n}'-P}$ où ${\displaystyle P_{n}'}$ est la mesure empirique basée sur une copie des variables précédentes ;
• ${\displaystyle \alpha =\varepsilon /2,\beta =1/2}$,

on obtient que

${\displaystyle \forall n\geq 8\varepsilon ^{-2},\quad \mathbb {P} \left(\sup _{t\in \mathbb {R} }|P_{n}(t)-P(t)|>\varepsilon \right)\leq 2\mathbb {P} \left(\sup _{t\in \mathbb {R} }|P_{n}(t)-P_{n}'(t)|>{\frac {1}{2}}\varepsilon \right).}$

On note ${\displaystyle \tau =\tau (\omega )}$ un élément de ${\displaystyle T}$ pour lequel ${\displaystyle |X_{\tau }|>\varepsilon }$ (i.e. ${\displaystyle \omega \in \{\sup _{t\in T}|X_{t}|>\varepsilon \}}$). Puisqu'il dépend de ${\displaystyle X,\tau }$ est indépendant de ${\displaystyle X'}$ et donc conditionnellement à ${\displaystyle X}$ il agit comme un élément de ${\displaystyle T}$ fixé :

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X_{t}'|\leq \alpha |X\right)\geq \beta .}$

En intégrant :

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta \mathbb {P} \left(\sup _{t\in T}|X_{t}|>\varepsilon \right)&\leq \mathbb {P} \left(|X_{\tau }'|\leq \alpha \right)\mathbb {P} \left(|X_{\tau }|>\varepsilon \right)\leq \mathbb {P} \left(|X_{\tau }'|\leq \alpha ,|X_{\tau }|>\varepsilon \right)\\&\leq \mathbb {P} \left(|X_{\tau }-X_{\tau }'|>\varepsilon -\tau \right)\leq \mathbb {P} \left(\sup _{t\in T}|X_{t}-X_{t}'|>\varepsilon -\alpha \right).\end{aligned}}}$