Interpolation d'Hermite

Une méthode de construction de P consiste à prendre les carrés des polynômes de Lagrange associés aux points x₀, x₁, ... , x_n :

${\displaystyle q_{i}(X)=(L_{i}(X))^{2}=\prod _{j=0,\,j\neq i}^{n}\left({\frac {X-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}\right)^{2}}$,

de degré 2n et vérifiant :

${\displaystyle q_{i}(x_{i})=1,\quad q_{i}^{\prime }(x_{i})=\sum _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {2}{x_{i}-x_{j}}}\quad {\rm {et}}\quad \forall j\neq i\quad q_{i}^{\prime }(x_{j})=q_{i}(x_{j})=0}$.

Un polynôme P de la forme

${\displaystyle P(X)=\sum _{i=0}^{n}q_{i}(X)P_{i}(X)}$

satisfait donc les 2n + 2 conditions si et seulement si les polynômes P_i vérifient :

${\displaystyle f(x_{i})=P_{i}(x_{i})\quad {\rm {et}}\quad f'(x_{i})=P'_{i}(x_{i})+q'_{i}(x_{i})P_{i}(x_{i})}$,

ce qui équivaut à :

${\displaystyle P_{i}(x_{i})=f(x_{i})\quad {\rm {et}}\quad P'_{i}(x_{i})=f'(x_{i})-q'_{i}(x_{i})f(x_{i})}$.

La solution la plus simple est de choisir

${\displaystyle P_{i}(X)=f(x_{i})+(X-x_{i})\left(f'(x_{i})-q'_{i}(x_{i})f(x_{i})\right)}$

et P est alors de degré au plus 2n + 1.

L'unicité du polynôme interpolateur d'Hermite se montre de façon similaire à celle du polynôme interpolateur de Lagrange : soient deux polynômes P et R vérifiant les hypothèses voulues. On a donc deux polynômes de degré au plus 2n + 1 dont les valeurs et les dérivées coïncident en n + 1 points. Ainsi, P – R est divisible par (X – x₀)²(X – x₁)²…(X – x_n)² qui est un polynôme de degré 2n + 2. Puisque P – R est de degré au plus 2n + 1, il est forcément nul.

L'erreur d'approximation causée par l'interpolation d'Hermite est donnée par le résultat suivant :

Si f est de classe C²ⁿ⁺², alors pour tout x dans [a, b], il existe ξ dans ]a, b[ tel que

${\displaystyle f(x)-P(x)={\frac {f^{(2n+2)}(\xi )}{(2n+2)!}}\prod _{j=0}^{n}(x-x_{j})^{2},\quad a\leqslant \min\{x,x_{0},\ldots ,x_{n}\}<\xi <\max\{x,x_{0},\ldots ,x_{n}\}\leqslant b}$.

Ainsi, l'interpolation d'Hermite est d'un ordre très supérieur à celui de l'interpolation lagrangienne (d'ordre n + 1).