Indices de pouvoir

Un jeu de vote (ou jeu de contrôle) est un couple (N,v) où N={1,...,i,...,n} représente l'ensemble des "joueurs" (ici les votants) et v une valeur appartenant à {0,1} telle qu'à chaque groupe d'individus on associe à chaque fois un nombre[10].

Une coalition ${\displaystyle S}$ est dite gagnante si ${\displaystyle v(S)=1}$ et perdante ${\displaystyle v(S)=0}$. On note ${\displaystyle s}$ le nombre de joueurs dans ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle G(v)}$ l'ensemble des coalitions gagnantes et ${\displaystyle G_{i}(v)}$ l'ensemble des coalitions gagnantes contenant le joueur ${\displaystyle i}$.

Remarque n^o 1 : Si l'on considère l'ensemble des joueurs comme un ensemble d'individus prenant part à un processus de décision collective, on peut généralement modéliser ce processus par un jeu de vote. Une coalition gagnante est alors définie comme un ensemble de votants tels que s'ils votent à l'unanimité pour une proposition, celle-ci est adoptée. On peut définir cette coalition comme une majorité généralisée.

Remarque n^o 2 : La valeur v indique alors le statut de chaque coalition et par conséquent autorise la formalisation du processus de décision collective. Dans cette configuration l'abstention est exclue: devant une proposition, le joueur n'a le choix de voter qu'entre "oui" et "non".

Un individu ${\displaystyle i}$ est dit décisif pour une coalition gagnante ${\displaystyle S}$ si le retrait de ce participant rend la coalition ${\displaystyle S}$ perdante, c'est-à-dire si ${\displaystyle v(S)=1}$ et ${\displaystyle v(S\setminus \{i\})=0}$. On note ${\displaystyle d(S)}$ le nombre de joueurs décisifs dans la coalition ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle D_{i}(v)}$ l'ensemble des coalitions pour lesquelles le joueur ${\displaystyle i}$ est décisif et ${\displaystyle d_{i}(v)}$ son cardinal.

Une coalition est dite minimale gagnante si c'est une coalition gagnante dont tous les joueurs sont décisifs. On note ${\displaystyle M(v)}$ l'ensemble des coalitions gagnantes de taille minimale (c'est-à-dire où chaque individu est décisif) et ${\displaystyle M_{i}(v)}$ l'ensemble des coalitions gagnantes de taille minimale auquel le joueur i appartient.

Un jeu de vote remplissant la condition suivante :

${\displaystyle S\subseteq T,v(S)=1\Rightarrow v(T)=1}$

est alors dit monotone.

Un jeu simple est dit pondéré s'il existe un quota ${\displaystyle q}$ et un poids ${\displaystyle w_{i}>0}$ pour chaque joueur tel que :

• ${\displaystyle v(S)=1}$ si ${\displaystyle \sum _{i\in S}w_{i}\geq q}$
• 0 sinon

Le jeu se note [${\displaystyle q}$; ${\displaystyle w_{1}}$, ..., ${\displaystyle w_{n}}$]

Le jeu de vote pour la Communauté Européenne en 1952 s'écrit :

${\displaystyle [9;4,4,4,2,2,1]}$

Un jeu simple est supposé propre si pour une coalition gagnante, le complémentaire de celle-ci est perdant:

${\displaystyle S\in G(v)\Rightarrow N-S\not \in G(v)}$

Un jeu simple est supposé fort si :

${\displaystyle S\not \in G(v)\Rightarrow N-S\in G(v)}$

Remarque: Cette condition est plus contraignante que celle de la définition n^o 7. En effet un jeu pondéré est propre si ${\displaystyle q>w/2}$, avec :

${\displaystyle w=\sum _{i\in S}w_{i}}$

Si l'on suppose ${\displaystyle w}$ impaire, un jeu pondéré est fort si ${\displaystyle q=(w+1)/2}$.

Voici un jeu important à quatre joueurs, où les calculs sont élémentaires, qui sert de référence :

On a un quota de 3 et le jeu suivant : [3;2,1,1,1].

On a quatre individus a, b, c et d, où a dispose d'un poids de 2 et les trois autres d'un poids de 1.

On peut écrire les coalitions gagnantes dans le tableau suivant :

Tableau n^o 1

On peut ensuite écrire le tableau des coalitions minimales gagnantes :

Tableau n^o 2

Le premier indice de pouvoir est celui de Shapley-Shubik et il a été formulée par Lloyd Shapley et Martin Shubik en 1954[5]. Il s'agit à l'origine de la Valeur de Shapley[11] un concept de Théorie des jeux construit pour être appliqué aux jeux sous forme de fonction caractérisant la classe des jeux simples. Shapley et Shubik l'ont proposé comme une mesure de pouvoir a priori dans un processus de vote.

Principe : On considère un groupe d'individus votant l'amendement d'une loi selon la procédure qui suit :

1. ils votent chacun leur tour ;
2. dès qu'une majorité est atteinte, l'individu qui a voté en dernier reçoit une "unité de pouvoir" (puisque l'amendement est passé grâce à sa voix).

Remarque n^o 1: L'individu en question est décisif dans la coalition formée par lui-même et tous ceux qui le précèdent.

Idée de l'indice: Si l'on suppose que l'ordre dans lequel les individus prennent part au vote est déterminé de manière aléatoire et équiprobable, on peut déterminer le nombre moyen de fois où individu donné est décisif.

Formulation mathématique : L'indice de Shapley-Shubick pour le joueur ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle SS_{i}(v)=\sum _{S\subseteq N/ \atop i\in S}{\frac {(|S|-1)!(n-|S|)!}{n!}}\times [v(S)-v(S\setminus \{i\})]}$

où ${\displaystyle n!}$ donne tous les ordres de passage possibles et ${\displaystyle v(S)-v(S-{i})}$ permet de repérer les fois où l'individu i est décisif.

Remarque n^o 2 : Cette expression revient à diviser le nombre de permutations des joueurs pour lesquelles le joueur i est décisif par le nombre total de permutations possibles.

Remarque n^o 3 : Comme toutes permutation comprend un et seul joueur décisif, cela implique que l'on a :

${\displaystyle \sum _{i\in N}SS_{i}(v)=1}$

En appliquant le principe de calcul de l'indice avec le tableau n^o 1, on obtient:

• ${\displaystyle SS_{a}(v)=(3\times {\frac {(2-1)!\times (4-2)!}{24}})+(3\times {\frac {(3-1)!\times (4-3)!}{24}})={\frac {6}{24}}+{\frac {6}{24}}={\frac {12}{24}}={\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle SS_{b}(v)=SS_{c}(v)=SS_{d}(v)={\frac {1}{6}}}$

John Francis Banzhaf III a proposé un indice qui diffère peu de celui de Shapley-Shubik. Son objectif était d'aider à résoudre certains débats juridiques concernant les normes d'équité constitutionnelles pour les systèmes de représentation électorale (Banzhaf voulait prouver objectivement que le système de vote au Conseil du Comté de Nassau était injuste). Banzhaf considère, comme Shapley et Shubik, que la mesure du pouvoir du joueur i doit dépendre du nombre de fois où il est décisif.

Toutefois le processus de décision de Banzhaf n'est pas séquentiel (il ne considérait pas qu'il fallait, comme dans le cas de Shapley-Shubik, un ordre d'arrivé): les coalitions votent bloc. Par conséquent le "score" de Banzhaf du joueur i est le nombre de coalitions possibles (et non le nombre de permutations possibles) pour lesquels i est décisif[6].

Le fonctionnement de l'indice de Banzhaf est très simple: on regarde le nombre de fois où un joueur est décisif et on divise par le nombre de fois où tous les joueurs sont décisifs.

Indice normalisé de Banzhaf : Pour un jeu (N, v) l'indice normalisé de Banzhaf du joueur ${\displaystyle i}$ est défini par:

${\displaystyle B_{i}(v)={\frac {d_{i}(v)}{\sum _{j\in N}d_{j}(v)}}}$

En reprenant à nouveau l'exemple 2, on observe que les joueurs sont décisifs 12 fois (la somme des 1 du tableau n^o 1 vaut 12), et d'où :

• a = 6 fois décisifs ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle B_{a}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}}$
• b = c = d = 2 fois décisifs ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle B_{i}={\frac {2}{12}}={\frac {1}{6}},\forall i=b,c,d}$

Dubey et Shapley[12] ont proposé une autre pondération du score de Banzhaf.
Indice de Banzhaf non normalisé: Pour un jeu (N, v) l'indice non normalisé de Banzhaf du joueur ${\displaystyle i}$ est défini par :

${\displaystyle Bn_{i}(v)={\frac {d_{i}(v)}{2^{n-1}}}={\frac {1}{2^{n-1}}}\times \sum _{S\subseteq N/ \atop i\in S}[v(S)-v(S\setminus \{i\})]}$

où le ${\displaystyle {2^{n-1}}}$ est le nombre de coalitions possibles pour les joueurs autre que i.
Remarque n^o 1 : Cette formulation de l'indice Banzhaf, que Dubey et Shapley justifient par des arguments probabilistes est la plus utilisée dans la littérature.
Remarque n^o 2 : L'indice normalisé de Banzhaf est souvent associé au nom de Coleman et l'indice non normalisé trouve son origine dans les travaux de Penrose[13].

En reprenant l'exemple n^o 2, on a :

• ${\displaystyle Bn_{a}={\frac {3}{8}}}$
• ${\displaystyle Bn_{i}={\frac {1}{8}},\forall i=b,c,d}$

Johnston[14] propose une modification de la pondération de l'indice de Banzhaf, en considérant que la mesure du pouvoir devrait dépendre du nombre de joueurs décisifs dans une coalition donnée. L'idée est que moins il y a de joueurs décisifs dans une coalition plus le pouvoir d'un seul joueur décisif sera fort.

Dans un jeu (N, v), le score de Johnston du joueur ${\displaystyle i}$ est défini par:

${\displaystyle SJ_{i}(v)=\sum _{S\in D_{i}(v)}{\frac {v(S)-v(S\backslash \{i\})}{d(S)}}=\sum _{S\in D_{i}(v)}{\frac {1}{d(S)}}}$

où ${\displaystyle d(S)}$ est le nombre de pivots dans la coalition ${\displaystyle S}$.

Indice de Johnston: Pour un jeu (N, v), l'indice de Johnston du joueur ${\displaystyle i}$ est:

${\displaystyle J_{i}(v)={\frac {SJ_{i}(v)}{\sum _{j=1}^{n}SJ_{j}(v)}}}$

En reprenant l'exemple n^o 2, on a :

• ${\displaystyle SJ_{a}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+1+1+1={\frac {3}{2}}+3={\frac {9}{2}}}$
• ${\displaystyle SJ_{i}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {5}{6}},\forall i=b,c,d}$

D'où: ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}SJ_{j}(v)={\frac {9}{2}}+{\frac {15}{6}}={\frac {42}{6}}}$

Et on obtient alors:

• ${\displaystyle J_{a}={\frac {\frac {9}{2}}{\frac {42}{6}}}={\frac {27}{42}}}$
• ${\displaystyle J_{i}={\frac {\frac {5}{6}}{\frac {42}{6}}}={\frac {5}{42}},\forall i=b,c,d}$

Deegan et Packel[15] ont proposé un indice de pouvoir basé sur le principe de taille de Riker[16]. Ce principe revient à considérer que seules se forment les coalitions minimales gagnantes. L'indice de Deegan-Packel est obtenu en supposant que seules les coalitions minimales gagnantes se forment de manière équiprobable et que chaque joueur d'une coalition minimale gagnante reçoit un "montant de pouvoir" inversement proportionnel à la taille de cette coalition.

Indice de Deegan-Packel : Pour un jeu (N, v), l'indice de Deegan-Packel du joueur ${\displaystyle i}$ est:

${\displaystyle DP_{i}(v)={\frac {1}{m(v)}}\sum _{S\in M(v)/ \atop i\in S}{\frac {v(S)-v(S\setminus \{i\})}{|S|}}={\frac {1}{m(v)}}\times \sum _{S\in M_{i}(v)}{\frac {1}{|S|}}}$

Ici:

• ${\displaystyle m(v)}$ est le nombre de coalitions minimales gagnantes,
• ${\displaystyle M(v)}$ la coalition minimale gagnante,
• ${\displaystyle v(S)-v(S-{i})}$ indique lorsque i est pivot (${\displaystyle \neq 0}$).

En reprenant l'exemple n^o 2, à partir du tableau n^o 2 (vu que l'on se sert de coalitions minimales gagnantes), on a :

• ${\displaystyle DP_{a}={\frac {1}{4}}\times {\frac {3}{2}}={\frac {3}{8}}}$
• ${\displaystyle DP_{i}={\frac {1}{4}}\times ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}})={\frac {5}{24}},\forall i=b,c,d}$

Hollard et Packel[17] ont proposé une modification de l'indice de Deegan-Packel en supposant que tous les joueurs d'une coalition minimale gagnante reçoivent le même montant de pouvoir quelle que soit la taille de la coalition. Il s'agit d'une redéfinition de l'indice de Deegan-Packel afin de prendre en compte les situations où la valeur associée à une coalition gagnante correspond à un bien collectif dont tous les membres de la coalition peuvent profiter sans exclusion ni rivalité[18] (et non a un bien privée divisible): quand on prend une ${\displaystyle m(v)}$, tout le monde a le même pouvoir (considéré comme un bien public non divisible).

Dans un jeu (N, v), le score de Hollard-Packel du joueur ${\displaystyle i}$ est :

${\displaystyle SHP_{i}(v)={\frac {1}{m(v)}}\times \sum _{S\in M(v)/ \atop i\in S}[v(S)-v(S\setminus \{i\})]={\frac {m_{i}(v)}{m(v)}}}$

Indice de Hollard-Packel: Pour un jeu (N, v), l'indice de Hollard-Packel du joueur ${\displaystyle i}$ est:

${\displaystyle HP_{i}(v)={\frac {SHP_{i}(v)}{\sum _{j=1}^{n}SHP_{i}(v)}}={\frac {m_{i}(v)}{\sum _{j=1}^{n}m_{j}(v)}}}$

En reprenant l'exemple n^o 2, on obtient :

• ${\displaystyle SHP_{a}={\frac {3}{4}}}$
• ${\displaystyle SHP_{i}={\frac {2}{4}},\forall i=b,c,d}$

D'où:

• ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}SHP_{j}(v)={\frac {3}{4}}+3\times {\frac {2}{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {6}{4}}={\frac {9}{4}}}$

Et:

• ${\displaystyle HP_{a}={\frac {\frac {3}{4}}{\frac {9}{4}}}={\frac {1}{3}}}$
• ${\displaystyle HP_{i}={\frac {\frac {2}{4}}{\frac {9}{4}}}={\frac {2}{9}},\forall i=b,c,d}$

Un nouvel indice, fondé sur le principe de taille de Riker (comme les indices de Deegan-Packel et Hollard-Packel), est proposé par Curiel[19]. Dans cet indice, Curiel relâche l’hypothèse, bien qu'implicite, d'équiprobabilité d'occurrence ou de formation des coalitions minimales gagnantes. Curiel associe à chaque coalition ${\displaystyle S\subset N}$, ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ un poids ${\displaystyle r_{S}>0}$ qui représente une de la probabilité d'occurrence de la coalition S. Pour un ensemble de coalition C, on note ${\displaystyle \sum _{S\in C}r_{S}}$ par r(C). Pour tout jeu simple (N, v) et toute coalition ${\displaystyle S\in 2^{N}}$, la probabilité d'occurrence de la coalition S, ${\displaystyle p_{S}(v)}$, est définie par :

• ${\displaystyle p_{S}(v)=0}$ si ${\displaystyle S\not \in M(v)}$,
• ${\displaystyle p_{S}(v)={\frac {r_{S}}{r(M(v))}}}$ si ${\displaystyle S\in M(v)}$

Pour toute coalition S:

• ${\displaystyle p_{S}(v)=0}$,
• ${\displaystyle p(M(v))=\sum _{S\in M(v)}p_{S}(v)=1}$

Dans un jeu (N, v), le score du Curiel du joueur ${\displaystyle i}$ est :

${\displaystyle \delta _{i}(v)=\sum _{S\in M_{i}(v)}p_{S}(v)}$

Indice de Curiel : Pour un jeu (N, v), l'indice de Curiel du joueur ${\displaystyle i}$ est:

${\displaystyle \Delta _{i}(v)={\frac {\delta _{i}(v)}{\sum _{j=1}^{n}\delta _{j}(v)}}}$

Remarque n^o 1 : L'indice ne peut se calculer sans connaître les poids ${\displaystyle r_{s}}$.
Remarque n^o 2 : La première distribution de poids suggérée par Curiel revient à supposer l'équiprobabilité d'occurrence des coalitions minimales gagnantes. Dans ce cas l'indice de Curiel coïncide avec celui de Hollard-Packel.
Remarque n^o 3: Une seconde distribution de poids consiste à supposer que la probabilité d'occurrence d'une coalition est inversement proportionnelle à sa taille[20]. Dans ce cas l'indice de Curiel est identique à celui de Deegan-Packel.

Un nouvel indice de pouvoir, également fondé sur le principe de taille de Riker, est proposé par Colomer et Martinez[21] - [22].
Ces derniers défendent l'idée selon laquelle un indice de pouvoir, dans le cadre bien défini de la genèse d'une coalition gouvernementale, à deux fonctions:

• estimer la capacité d'un parti à faire basculer le résultat d'un vote,
• mesurer le pouvoir de ce parti au sein des coalitions auxquelles il appartient.

Pour un jeu simple pondéré ${\displaystyle v:[q;w_{1},...,w_{n}]}$, l'indice de Colomer-Martinez du joueur ${\displaystyle i}$ est:

${\displaystyle CM_{i}(v)={\frac {\sum _{S\in M_{i}(v)}w_{i}}{\sum _{S\in M}\sum _{j\in S}w_{j}}}={\frac {w_{i}m_{i}(v)}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}m_{j}(v)}}}$

En reprenant l'exemple n^o 2, on obtient:

• ${\displaystyle CM_{a}(v)={\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle CM_{i}(v)={\frac {1}{6}},\forall i=b,c,d}$

Deux chercheurs, Andjiga[23] en 1996 et Berg[24] en 1999, ont, indépendamment l'un de l'autre, proposé un indice reposant sur les deux principes suivant :

1. Seules les coalitions gagnantes peuvent se former et ce de manière équiprobable.
2. Dans une coalition S un joueur i obtient une fraction de pouvoir qui est inversement proportionnelle à la taille de la coalition S tant que le joueur i est décisif dans S.

Le score d'Andjiga-Berg du joueur ${\displaystyle i}$ est donné par:

${\displaystyle SAB_{i}(v)={\frac {1}{g(v)}}\times \sum _{S\in G_{i}(v)}{\frac {v(S)-v(S\setminus \{i\})}{|S|}}={\frac {1}{g(v)}}\sum _{S\in D_{i}(v)}{\frac {1}{|S|}}}$

où ${\displaystyle g(v)}$ désigne le nombre de coalitions gagnantes.
L'indice d'Andjiga-Berg du joueur ${\displaystyle i}$ est:

${\displaystyle AB_{i}(v)={\frac {SAB_{i}(v)}{\sum _{j=1}^{n}SAB_{j}(v)}}}$

En reprenant l'exemple n^o 2, on obtient:

• ${\displaystyle AB_{a}(v)={\frac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle AB_{i}(v)={\frac {1}{6}},\forall i=b,c,d}$

Chakravarty[25] a proposé en 2000 ce dernier indice en suggérant que le pouvoir absolu d'un joueur ${\displaystyle i}$, dans le cadre des jeux pondérés, peut être mesuré par le nombre de fois où il est décisif, pondéré par son poids ${\displaystyle w_{i}}$.
La fraction de pouvoir absolu total qu'un joueur possède définit donc son pouvoir.
Remarque : La justification donné par l'auteur est principalement d'ordre théorique vu qu'il s'agit pour lui de proposer une sophistication de l'indice normalisé de Banzhaf ${\displaystyle B_{i}(v)}$ dotée de "bonnes" propriétés, que ne possède pas l'indice d'origine.
L'indice de Chakravarty du joueur ${\displaystyle i}$ dans le jeu ${\displaystyle v:[q;w_{1},...,w_{n}]}$ est donné par:

${\displaystyle C_{i}(v)={\frac {w_{i}d_{i}(v)}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}d_{j}(v)}}}$

En reprenant l'exemple n^o 2, on obtient:

• ${\displaystyle C_{a}(v)={\frac {2}{3}}}$
• ${\displaystyle C_{i}(v)={\frac {1}{9}},\forall i=b,c,d}$

Au Conseil de l'Europe en 1958 six pays étaient représentés. Le tableau suivant indique la répartition des sièges entre les pays:

Tableau n^o 3: Répartition des sièges au Conseil des Ministres de la CEE en 1958

À l'époque la majorité était fixée à 12 voix. On a donc le jeu suivant : [12;4,4,4,2,2,1].
Certains pays ayant le même nombre de sièges (Allemagne, France et Italie), on les regroupe pour plus de facilité. On a donc trois groupes :

• ${\displaystyle J1}$ = {Allemagne, France et Italie}
• ${\displaystyle J2}$ = {Belgique et Pays-Bas}
• ${\displaystyle J3}$ = {Luxembourg}

On donc le tableau de résultats suivant :
Tableau n^o 4 : Résultats des indices pour le Conseil des Ministres de la CEE en 1958

Indice	${\displaystyle J_{1}(4)}$	${\displaystyle J_{2}(2)}$	${\displaystyle J_{3}(1)}$
SS	23,33	15	0
B	23,81	14,29	0
J	25	12,5	0
DP	20,83	18,75	0
HP	20	20	0

On rappelle que dans ce tableau SS = Shapley-Shubik, B = Banzhaf, J = Jonhston, DP = Deegan-Packel et HP = Hollard-Packel.

Remarque n^o 1 : On constate que l'indice de Hollard-Packel accorde le même pouvoir au groupe ${\displaystyle J_{1}}$ et ${\displaystyle J_{2}}$. On constate que le Luxembourg, quel que soit l'indice, n'a aucun pouvoir.

Si maintenant on change la majorité, on remplace 12 par 9, on obtient le jeu [9;4,4,4,2,2,1]. On conserve tous les autres paramètres. On obtient donc le tableau de résultats suivant :
Tableau n^o 5: Résultats des indices pour le Conseil des Ministres de la CEE en 1958 avec une majorité à 9 voix

Indice	${\displaystyle J_{1}(4)}$	${\displaystyle J_{2}(2)}$	${\displaystyle J_{3}(1)}$
SS	23,33	10	10
B	23,33	10	10
J	25,38	7,95	7,95
DP	19,87	13,46	13,46
HP	19,05	14,29	14,29

Remarque n^o 2 : On constate que tous les indices le même pouvoir au groupe ${\displaystyle J_{2}}$ et ${\displaystyle J_{3}}$. On constate que l'abaissement de la majorité a laissé le pouvoir du groupe ${\displaystyle J_{1}}$ quasi inchangé, tandis que le groupe ${\displaystyle J_{2}}$ a perdu jusqu'à un tiers de son pouvoir.

Au Conseil de l'Europe en 1995, quinze pays étaient représentés. Il y avait 87 voix à partager. Le tableau suivant indique la répartition des sièges entre les pays :

Tableau n^o 6 : Répartition des sièges au Conseil de l'Union européenne en 1995

À l'époque la majorité était fixé à 62 voix. On a donc le jeu suivant : [62;10,10,10,10,8,5,5,5,5,4,4,3,3,3,2].
Certains pays ayant le même nombre de sièges (Allemagne, France et Italie), on les regroupe pour plus de facilité. On a donc six groupes:

• ${\displaystyle J1}$ = {Allemagne, France, Grande-Bretagne et Italie}
• ${\displaystyle J2}$ = {Espagne}
• ${\displaystyle J3}$ = {Belgique, Grèce et Pays-Bas, Portugal}
• ${\displaystyle J4}$ = {Autriche et Suède}
• ${\displaystyle J5}$ = {Danemark, Finlande et Irlande}
• ${\displaystyle J6}$ = {Luxembourg}

On a donc le tableau de résultats suivant :
Tableau n^o 7: Résultats des indices pour le Conseil de l'Union européenne en 1995

Indice	${\displaystyle J_{1}(10)}$	${\displaystyle J_{2}(8)}$	${\displaystyle J_{3}(5)}$	${\displaystyle J_{4}(4)}$	${\displaystyle J_{5}(3)}$	${\displaystyle J_{6}(2)}$
SS	11,67	9,55	5,52	4,54	3,53	2,07
B	11,16	9,24	5,87	4,79	3,59	2,26
J	13,30	10,01	4,90	3,77	2,67	1,67
DP	8,22	7,51	6,47	6,08	5,72	4,4
HP	8,09	7,43	6,5	6,13	5,82	4,5

On rappelle que dans ce tableau SS = Shapley-Shubik, B = Banzhaf, J = Jonhston, DP = Deegan-Packel et HP = Hollard-Packel.

Remarque n^o 3: On constate que les indices de Deegan-Packel et de Hollard-Packel accordent des pouvoirs similaires aux groupes ${\displaystyle J_{3}}$ et ${\displaystyle J_{4}}$.

Si maintenant on change la majorité, on remplace 62 par 44, on obtient le jeu [44;10,10,10,10,8,5,5,5,5,4,4,3,3,3,2]. On conserve tous les autres paramètres.

On a donc le tableau de résultats suivant :
Tableau n^o 8: Résultats des indices pour le Conseil de l'Union européenne en 1995 avec une majorité à 44 voix

Indice	${\displaystyle J_{1}(10)}$	${\displaystyle J_{2}(8)}$	${\displaystyle J_{3}(5)}$	${\displaystyle J_{4}(4)}$	${\displaystyle J_{5}(3)}$	${\displaystyle J_{6}(2)}$
SS	11,83	9,17	5,56	4,64	3,26	2,18
B	11,72	9,14	5,61	4,68	3,32	2,20
J	14,84	9,83	4,15	3,24	2,12	1,37
DP	7,32	7,30	6,74	6,54	6,17	4,86
HP	7,03	7,12	6,81	6,65	6,39	5,09

Remarque n^o 4: On constate que l'indice de Hollard-Packel accorde un pouvoir supérieur au groupe ${\displaystyle J_{2}}$ qu'au groupe ${\displaystyle J_{1}}$.

Soit (N, v) un jeu de vote avec un quota ${\displaystyle q}$ et une distribution de pouvoirs (${\displaystyle w_{1}}$, ..., ${\displaystyle w_{n}}$). L'indice ${\displaystyle \alpha }$ est sujet au paradoxe de la monotonie s'il existe deux joueurs ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle j}$ tels que:

• ${\displaystyle w_{i}>w_{j}}$ et ${\displaystyle \alpha _{i}(v)<\alpha _{j}(v)}$

Exemple n^o 6: HP dans le tableau n^o 8

Soit (N, v) un jeu de vote avec un quota ${\displaystyle q}$ et une distribution de pouvoirs (${\displaystyle w_{1}}$, ..., ${\displaystyle w_{n}}$) et (N', v') un jeu de vote avec un quota q et une distribution de pouvoirs (${\displaystyle w_{1}'}$, ..., ${\displaystyle w_{n}'}$) tels que:${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}=\sum _{j=1}^{n}w_{j}'}$.
Supposons qu'il existe ${\displaystyle i}$ vérifiant pour tout ${\displaystyle i\neq j}$, que ${\displaystyle w_{j}'\geq w_{j}}$ (par conséquent ${\displaystyle w_{i}'<w_{i}}$).
L'indice ${\displaystyle \alpha }$ est sujet au paradoxe du transfert si :${\displaystyle \alpha _{i}(v')>\alpha _{i}(v)}$.

Exemple n^o 7: Soit les jeux [8;5,3,1,1,1] et [8;4,4,1,1,1]. Ils ne diffèrent que par la différence de poids entre les deux premiers joueurs: dans le premier jeu le joueur n^o 1 a un poids de 5 et le joueur n^o 2 un poids de 3, alors que dans le second jeu les deux joueurs ont un poids de 4.

Les deux tableaux suivants donnent les résultats des combinaisons gagnantes des jeux :
Tableau n^o 9: Les coalitions minimales gagnantes du premier jeu

Tableau n^o 10 : Les coalitions minimales gagnantes du second jeu

Avec l'indice de Deegan-Packel on obtient les résultats suivants:
Tableau n^o 11: Les résultats pour l'indice de Deegan-Packel des deux jeux

Joueur	Jeux no 1	Jeux no 2
1	${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
2	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
3	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	0
4	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	0
5	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	0

Soit (N, v) un jeu de vote avec un quota ${\displaystyle q}$ et une distribution de pouvoirs (${\displaystyle w_{1}}$, ..., ${\displaystyle w_{n}}$) et ${\displaystyle (N-{j},v')}$ un nouveau jeu de vote le même quota q et une distribution de poids (${\displaystyle w_{1}'}$, ..., ${\displaystyle w_{j-1}'}$, ${\displaystyle w_{j+1}'}$, ..., ${\displaystyle w_{n}'}$) tels que pour tout ${\displaystyle k\neq {i,j}}$, ${\displaystyle w_{k}'=w_{k}}$ et ${\displaystyle w_{i}'=w_{i}+w_{j}}$.
L'indice ${\displaystyle \alpha }$ est sujet au paradoxe du bloc si :${\displaystyle \alpha _{j}(v)>0}$ et ${\displaystyle \alpha '_{i}(v')<\alpha _{i}(v)}$.

Exemple n^o 8: Soit les jeux [25;9,9,7,1,1,1,1,1,1,1] et [25;10, 9,7,1,1,1,1,1,1]. Ils ne diffèrent que le transfert du poids du dernier joueur du jeu n^o 1 sur celui du premier joueur du jeu n^o 2 :

• ${\displaystyle 9\rightarrow 10}$
• ${\displaystyle 1\rightarrow 0}$

On passe donc d'un jeu à dix joueurs à un jeu à neuf joueurs.
On peut aussi regrouper les joueurs ayant même poids.
On a donc pour le jeu n^o 1:

• ${\displaystyle J1}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ {Les joueurs ayant un poids de 9}
• ${\displaystyle J2}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ {Le joueur ayant un poids de 7}
• ${\displaystyle J3}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ {Les joueurs ayant un poids de 1}

On a donc pour le jeu n^o 2 :

• ${\displaystyle J1}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ {Le joueur ayant un poids de 10}
• ${\displaystyle J2}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ {Le joueur ayant un poids de 9}
• ${\displaystyle J3}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ {Le joueur ayant un poids de 7}
• ${\displaystyle J4}$ ${\displaystyle \rightarrow }$ {Les joueurs ayant un poids de 1}

On observe ce paradoxe avec l'indice de Banzhaf dans les tableaux suivants :
Tableau n^o 12 : Les résultats pour le jeu n^o 1

Indice	A	B	C
Banzhaf	0,329	${\displaystyle {\frac {127}{392}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{392}}}$

Tableau n^o 13 : Les résultats pour le jeu n^o 2

Indice	A	B	C	D
Banzhaf	0,327	0,327	${\displaystyle {\frac {63}{199}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{199}}}$

Remarque n^o 5 : Alors qu'on a augmenté son poids de 1, le premier joueur a non seulement le même pouvoir que le second joueur, qui lui a un poids de 9, mais en plus il a perdu du pouvoir par rapport à la configuration antérieur.

Tableau n^o 14 : Les paradoxes en fonction des indices

• Valeur de Shapley
• Indice de pouvoir de Shapley-Shubik
• Indice de pouvoir de Banzhaf

• Les calculateurs d'indices de pouvoirs de l'université de Tuku
• Banzhaf Power Index: page en anglais sur l'indice de Banzhaf