Inégalité de Maclaurin

Soient a₁, a₂, … , a_n des nombres réels strictement positifs et, pour k = 1, 2, … , n, les moyennes S_k définies par

${\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leqslant i_{1}<\cdots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}\cdot }$

Le numérateur de cette fraction est le polynôme symétrique élémentaire de degré k en les n variables a₁, a₂, … , a_n, c'est-à-dire la somme de tous les produits de k d'entre ces nombres. Le coefficient binomial au dénominateur est donc le nombre de termes du numérateur.

Alors,

${\displaystyle S_{1}\geqslant {\sqrt {S_{2}}}\geqslant {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geqslant \cdots \geqslant {\sqrt[{n}]{S_{n}}},}$

et ces inégalités sont strictes, sauf si tous les a_i sont égaux.

L'inégalité ${\displaystyle S_{1}\geqslant {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}$ est l'inégalité usuelle entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des n nombres.

Pour n = 4, les inégalités intermédiaires sont (pour tous réels a, b, c, d > 0)

${\displaystyle {\frac {a+b+c+d}{4}}\geqslant {\sqrt {\frac {ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}}\geqslant {\sqrt[{3}]{\frac {abc+abd+acd+bcd}{4}}}\geqslant {\sqrt[{4}]{abcd}}.}$

Les inégalités de Maclaurin peuvent se déduire des inégalités de Newton, qui sont (en posant S₀ = 1)

${\displaystyle \forall k=1,\ldots ,n-1\quad S_{k}^{2}\geqslant S_{k-1}S_{k+1}.}$

En effet, ${\displaystyle S_{1}^{2}S_{2}^{4}S_{3}^{6}\ldots S_{k}^{2k}\geqslant (S_{0}S_{2})(S_{1}S_{3})^{2}(S_{2}S_{4})^{3}\ldots (S_{k-1}S_{k+1})^{k}}$ se simplifie en ${\displaystyle S_{k}^{k+1}\geqslant S_{k+1}^{k},}$ qui équivaut à ${\displaystyle S_{k}^{1/k}\geqslant S_{k+1}^{1/(k+1)}.}$ Le cas d'égalité pour Newton fournit celui pour Maclaurin.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Maclaurin's inequality » (voir la liste des auteurs).
• (en) Piotr Biler et Alfred Witkowski, Problems in Mathematical Analysis, New York/Basel, CRC Press, 1990, 227 p. (ISBN 0-8247-8312-3, lire en ligne), p. 5
• (en) Colin Mac Laurin, « A second letter from Mr. Colin M^c Laurin, […] to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra […] », Phil. Trans., vol. 36, n^os 407-416,‎ 1729, p. 59-96 (DOI 10.1098/rstl.1729.0011)

• Inégalité de Muirhead
• Inégalités de Newton
• Moyenne d'ordre p