Inégalité de Borell

Soit ${\displaystyle X}$ un processus gaussien stochastique indexé par un espace semi-métrique ${\displaystyle (T,d)}$. On suppose que ce processus est séparable, i.e. il existe un sous-ensemble dénombrable ${\displaystyle {\widetilde {T}}\subset T}$ tel que presque-sûrement

${\displaystyle \sup _{s,t\in T,d(s,t)<\delta }|X_{s}-X_{t}|=\sup _{s,t\in {\widetilde {T}},d(s,t)<\delta }|X_{s}-X_{t}|}$.

On note ${\displaystyle ||X||}$ le supremum ${\displaystyle \sup _{t\in T}|X_{t}|}$ et on suppose que le processus est centré, i.e. ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{t}]=0}$ pour tout ${\displaystyle t\in T}$. On note ${\displaystyle \sigma ^{2}(X)=\sup _{t\in T}\mathrm {Var} (X_{t})}$ le supremum de la variance du processus et ${\displaystyle M(X)}$ la médiane de la variable ${\displaystyle ||X||}$. Plusieurs énoncés sont données dans la littérature mais sont quasiment les mêmes à quelques constantes près[2] - [3] : pour tout ${\displaystyle t>0}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}P(|\ ||X||-M(X)|\geq t)&\leq \exp \left(-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}(X)}}\right)\\P(|\ ||X||-\mathbb {E} [||X||]|\geq t)&\leq 2\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}(X)}}\right)\\P(||X||\geq t)&\leq 2\exp \left(-{\frac {t^{2}}{8\mathbb {E} [||X||^{2}]}}\right)\end{aligned}}}$