Inégalité d'interpolation de Gagliardo-Nirenberg

Soient ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ une fonction C^∞ à support compact, deux réels ${\displaystyle 1\leq q,r\leq \infty }$ et un entier ${\displaystyle m}$. Soient ${\displaystyle \alpha }$ un réel et ${\displaystyle j}$ un entier naturel tels que

${\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {j}{n}}+\left({\frac {1}{r}}-{\frac {m}{n}}\right)\alpha +{\frac {1-\alpha }{q}}}$

et

${\displaystyle {\frac {j}{m}}\leq \alpha \leq 1.}$

Alors, il existe une constante ${\displaystyle C}$ dépendant de ${\displaystyle m,\ n,\ j,\ q,\ r}$ et ${\displaystyle \alpha }$ telle que

${\displaystyle \|\mathrm {D} ^{j}u\|_{L^{p}}\leq C\|\mathrm {D} ^{m}u\|_{L^{r}}^{\alpha }\|u\|_{L^{q}}^{1-\alpha }.}$

Pour une preuve de cette inégalité, voir[4] théorème 9.3. La première condition sur ${\displaystyle \alpha }$ est l'homogénéité en ${\displaystyle x}$. La seconde condition exprime qu'à homogénéité fixée, ${\displaystyle j}$ ne peut pas dépasser la valeur d'interpolation avec ${\displaystyle \alpha }$, i.e. ${\displaystyle j\leq \alpha \ m}$. Le cas limite interdit est ${\displaystyle p=\infty }$ lorsqu'il a la même homogénéité que ${\displaystyle \|\mathrm {D} ^{m}u\|_{L^{r}}}$, sauf si ${\displaystyle r=1}$ auquel cas le résultat est trivial (en intégrant ${\displaystyle m-j}$ fois).

Pour une extension au cas des exposants de dérivation non entiers, voir [5].

• Pour ${\displaystyle \alpha =1}$, la norme ${\displaystyle L^{q}}$ de ${\displaystyle u}$ dans le membre de droite de l'inégalité ci-dessous n’apparaît plus. Dans ce cas on retrouve les injections de Sobolev.
• Un autre cas spécial de l'inégalité d'interpolation de Gagliardo–Nirenberg est l'inégalité de Ladyzhenskaya (en), qui s'obtient pour ${\displaystyle m=1,}$ ${\displaystyle j=0,}$ ${\displaystyle n=2}$ ou ${\displaystyle 3,}$ ${\displaystyle q=r=2,}$ et ${\displaystyle p=4}$.