Inégalité d'Hermite-Hadamard

Si la fonction f est convexe sur un intervalle, elle y est continue, mais aussi dérivable à gauche et à droite en chaque point. On note f ⁻ et f ⁺ ces dérivées respectivement. Ainsi, pour chaque x₀ ∈ [a,b], on peut construire une ligne

${\displaystyle t(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0}),\ c\in [f^{-}(x_{0}),f^{+}(x_{0})].}$

telle que

${\displaystyle \forall x\in [a,b],t(x)\leqslant f(x),{\text{ et }}t(x)=f(x)\Leftrightarrow x=x_{0}.}$

On a, en particulier, pour x₀=a+b/2 :

${\displaystyle \forall x\in [a,b],f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\leqslant f(x),\ c\in \left[f^{-}\left({\frac {a+b}{2}}\right),f^{+}\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right].}$

D'autre part, toujours par convexité de f, on a :

${\displaystyle \forall x\in [a,b],f(x)\leqslant f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a).}$

Il suffit alors de calculer les intégrales des deux fonctions affines :

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+c\left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right),\ \int _{a}^{b}\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]\,\mathrm {d} x=(b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

On considère f:[a, b] → ℝ une fonction réelle intégrable. On peut définir la suite de fonctions suivante d'intégrales itérées de f, pour a ≤ s ≤ b.:

${\displaystyle {\begin{aligned}F^{(0)}(s)&:=f(s),\\F^{(1)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(0)}(u)du=\int _{a}^{s}f(u)du,\\F^{(2)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(1)}(u)du=\int _{a}^{s}\left(\int _{a}^{t}f(u)du\right)\,dt,\\&\ \ \vdots \\F^{(n)}(s)&:=\int _{a}^{s}F^{(n-1)}(u)\,du,\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

Alors si f est convexe, pour a < x_i < b, i = 1, ..., n, distincts deux à deux (x_i ≠ x_j et i ≠ j), alors on a:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {F^{(n-1)}(x_{i})}{\Pi _{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}}\leq {\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})}$

avec

${\displaystyle \Pi _{i}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\prod _{i\in \{1;n\},i\neq j}(x_{i}-x_{j})=(x_{i}-x_{1})(x_{i}-x_{2})\cdots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\cdots (x_{i}-x_{n}),\ \ i=1,\dots ,n.}$

L'inégalité change de sens si f est concave.

Le cas d'égalité est vérifié si et seulement si f est linéaire.

On a également : avec ${\displaystyle {\underline {\alpha }}=(\alpha ,\ldots ,\alpha )}$ pour ${\displaystyle \ a<\alpha <b,}$ alors

${\displaystyle \lim _{{\underline {x}}\to {\underline {\alpha }}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {F^{(n-1)}(x_{i})}{\Pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}=\lim _{{\underline {x}}\to {\underline {\alpha }}}{\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})={\frac {f(\alpha )}{(n-1)!}}}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hermite–Hadamard inequality » (voir la liste des auteurs).
• Jacques Hadamard, "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann", Journal de mathématiques pures et appliquées, volume 58, 1893, pages 171–215.
• Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite–Hadamard Inequality", Acta Sci. Math. (Szeged), 74 (2008), pages 95–106.
• Mihály Bessenyei, "The Hermite–Hadamard Inequality on Simplices", American Mathematical Monthly, volume 115, April 2008, pages 339–345.
• Flavia-Corina Mitroi, Eleutherius Symeonidis, "The converse of the Hermite-Hadamard inequality on simplices", Expo. Math. 30 (2012), pp. 389–396. DOI:10.1016/j.exmath.2012.08.011; (ISSN 0723-0869)