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Hexamino

Un hexamino est un polyomino composé de six carrés de même dimension. Si la rotation et la réflexion ne sont pas considérés, alors il y a 35 tuiles différentes possibles.

Les 35 différents hexaminos.

La figure montre tous les hexaminos possibles, colorés selon leur groupe de symétrie :

  • 20 hexaminos, en noir, sont sans symĂ©trie.
  • 6 hexaminos, en rouge, possèdent un axe de symĂ©trie selon les lignes de la grille. Leur groupe de symĂ©trie possède deux Ă©lĂ©ments, l'identitĂ© et la rĂ©flexion selon une ligne parallèle aux cĂ´tĂ©s de la grille.
  • 2 hexaminos, en vert, ont un axe de symĂ©trie Ă  45° par rapport aux lignes de la grille. Leur groupe de symĂ©trie a deux Ă©lĂ©ments : l'identitĂ© et la rĂ©flexion diagonale.
  • 5 hexaminos, en bleu, ont une symĂ©trie selon un point, aussi connu comme une symĂ©trie de rotation d'ordre 2. Leur groupe de symĂ©trie possède deux Ă©lĂ©ments : l'identitĂ© et la rotation de 180°.
  • 2 hexaminos, en pourpre, possèdent deux axes de symĂ©trie, alignĂ©s selon les lignes de la grille. Leur groupe de symĂ©trie possède quatre Ă©lĂ©ments.

Si les réflexions des hexaminos étaient distinctes, alors la première et la quatrième catégories doubleraient en taille, ce qui donnerait un surplus de 25 hexaminos pour un total de 60 hexaminos différents.

Pavage

Carré 15x15 avec trou construit avec les 35 hexaminos.

Bien qu'un ensemble de 35 hexaminos contient 210 carrés, il n'est pas possible de paver un rectangle sans trou, au contraire des pentaminos. Une preuve, simple, fait appel à la parité. Si les hexaminos sont déposés sur un échiquier, alors 11 couvrent un nombre pair de carrés noir (soit 2 blancs et 4 noirs, ou vice-versa) et 24 couvrent un nombre impair de carrés noir (3 blancs et 3 noirs). En tout, un nombre pair de carrés noir carrés sera couvert, peu importe l'arrangement. Cependant, un rectangle de 210 carrés contient 105 carrés noirs et 105 carrés blancs.

Il y a d'autres figures simples de 210 carrés que les hexaminos peuvent paver sans trou. Par exemple, un carré 15 × 15 avec un rectangle 3 × 5 en moins au centre fait 210 carrés. Possédant 106 carrés blancs et 104 carrés noirs (ou l'inverse), son pavage est possible selon la preuve de la parité mentionnée ci-avant. Une solution existe : voir (en) .

Patrons du cube

Les onze patrons du cube.

Parmi les hexaminos, onze d'entre eux sont des patrons permettant de confectionner un cube. Ils sont figurés ci-contre, avec les mêmes colorations par groupe de symétrie.

Sources

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