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Groupe stable

En théorie des modèles, un groupe stable est une structure de groupe , avec éventuellement d’autres applications, relations et constantes que la loi de groupe , dont la théorie complète associée (en) est stable au sens de la théorie de la stabilité (en) ; la théorie complète associée à est formée des énoncés de la logique du premier ordre qui sont satisfaits par .

Les groupes de rang de Morley fini forment une importante classe d’exemples de tels groupes.

Exemples

  • Un groupe de rang de Morley fini est un groupe , avec Ă©ventuellement d’autres fonctions, relations et constantes que la loi de groupe , tel que la formule a un rang de Morley (en) fini dans la structure . Un tel groupe est stable, et mĂŞme ω-stable. Les groupes de rang de Morley fini se comportent comme des objets de dimension finie. Leurs similaritĂ©s frappantes aussi bien avec les groupes finis qu'avec les groupes algĂ©briques font l'objet d'actives recherches.
  • Les groupes finis sont des groupes de rang de Morley fini : leur rang de Morley est zĂ©ro.
  • Les groupes algĂ©briques dĂ©finis sur un corps algĂ©briquement clos sont des groupes de rang de Morley fini. Ceci est vrai si on les munis de leur pleine structure algĂ©brique induite par le corps de base, et dans ce cas leur rang de Morley est Ă©gal Ă  leur dimension comme variĂ©tĂ© algĂ©brique, mais aussi si on les considère comme groupes abstraits.
  • La thĂ©orie d'un corps diffĂ©rentiellement clos (en) est ω-stable. Par consĂ©quent, tout groupe interprĂ©table (en) dans une telle structure est aussi ω-stable ; en particulier, c'est un groupe stable.
  • La thĂ©orie d'un corps sĂ©parablement clos est stable, sans ĂŞtre superstable (en). Par consĂ©quent, tout groupe interprĂ©table dans une structure de corps sĂ©parablement clos est stable, et n'est gĂ©nĂ©ralement pas superstable (donc pas ω-stable).
  • Un thĂ©orème majeur de Zlil Sela (en) publiĂ© en 2013 montre que les groupes libres de type fini sont stables. Ce rĂ©sultat lui a notamment valu le prix Karp en 2008.

Conjecture de Cherlin-Zilber

La conjecture de Cherlin–Zilber, également appellée conjecture d’algébricité, a été formulée indépendamment par Gregory Cherlin en 1979 et Boris Zilber en 1977. Elle s’énonce ainsi :

« Tout groupe simple et infini de rang de Morley fini est un groupe algébrique sur un corps algébriquement clos. »

En d’autres termes, si est un groupe de rang de Morley fini, alors est isomorphe comme groupe abstrait au groupe des points -rationnels d’un groupe algébrique simple défini sur un corps algébriquement clos . En réalité, l’énoncé initial de Gregory Cherlin était un peu plus général puisqu’il concernait les groupes ω-stables ; cette formulation est néanmoins rapidement passée au second plan, elle est d’ailleurs rarement mentionnée.

Une autre question formulée par Boris Zilber conjecturait également des liens profonds entre la géométrie et la théorie des modèles : il s’agissait de la conjecture de « trichotomie de Zilber ». Elle concernait les structures de rang de Morley 1 et a d’abord été réfutée par Ehud Hrushovski en 1988, avant qu’Ehud Hrushovski et Boris Zilber ne montrent dans un article paru en 1996 qu’elle est vraie sous certaines hypothèses de nature topologique.

Dans les années 80, Alexandre Borovik (en) a proposé une approche de la conjecture de Cherlin-Zilber basée sur le transfert d’idées qui ont été fructueuses pour la classification des groupes simples finis ; cette approche est désormais connue sous le nom de « programme de Borovik ». Ce programme a permis des avancées majeures, dont les deux dernières mentionnées ci-dessous.

Concernant la construction d'un éventuel contre-exemple à la conjecture de Cherlin-Zilber, les « mauvais groupes » apparaissent comme des candidats possibles : un groupe de rang de Morley fini est dit être un « mauvais groupe » s’il est connexe (c’est-à-dire sans sous-groupe propre définissable d'indice fini), non résoluble, et si ses sous-groupes propres définissables et connexes sont tous nilpotents. Cependant, leur existence reste une question ouverte.

Un cas majeur de la conjecture a été démontré en 2008 :

Elle a aussi été démontrée dans d'autres cas particuliers, par exemple :

  • un thĂ©orème de Markus Reineke montre que tout groupe connexe de rang de Morley 1 est abĂ©lien.
  • Gregory Cherlin a dĂ©montrĂ© que tout groupe connexe de rang de Morley 2 est rĂ©soluble.
  • Gregory Cherlin a dĂ©montrĂ© que tout groupe simple de rang de Morley 3 est soit un « mauvais groupe », soit isomorphe Ă  PSL) pour un corps algĂ©briquement clos dĂ©finissable dans .
  • Simon R. Thomas a dĂ©montrĂ© la conjecture pour les groupes localement finis (en) dans sa thèse en 1983.
  • Jeffrey Burdges a dĂ©montrĂ© que, dans un contre-exemple minimal Ă  la conjecture de Cherlin-Zilber (« minimal » s’entend dans le sens oĂą la conjecture est satisfaite pour les quotients entre deux sous-groupes dĂ©finissables propres), il n’y a pas de 2-sous-groupe de PrĂĽfer avec un sous-groupe isomorphe Ă  ℤ2ℤ2ℤ2.

Références

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