Groupe de Schützenberger

Soit ${\displaystyle S}$ un demi-groupe. On définit ${\displaystyle S^{1}}$ comme étant égal à ${\displaystyle S}$ si ${\displaystyle S}$ est un monoïde, sinon égal à ${\displaystyle S\cup \{1\}}$, où ${\displaystyle 1}$ est un élément neutre ajouté, donc vérifiant ${\displaystyle a1=1a=a}$ pour tout ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle S^{1}}$.

La relation de Green ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ est définie comme suit. Soient ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ deux éléments de ${\displaystyle S}$. Alors

${\displaystyle a{\mathcal {H}}b}$ si et seulement s'il existe ${\displaystyle x,y,z,t}$ dans ${\displaystyle S^{1}}$ tels que ${\displaystyle xa=yb}$ et ${\displaystyle az=bt}$.

La ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-classe d'un élément ${\displaystyle a}$ est notée ${\displaystyle H(a)}$. C'est l'ensemble des éléments ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle S}$ tels que ${\displaystyle a{\mathcal {H}}b}$.

Soit ${\displaystyle H}$ une ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-classe de ${\displaystyle S}$. Soit ${\displaystyle T(H)}$ l’ensemble des éléments ${\displaystyle t}$ de ${\displaystyle S^{1}}$ tels que ${\displaystyle Ht}$ est un sous-ensemble de ${\displaystyle H}$. Chaque ${\displaystyle t}$ de ${\displaystyle T(H)}$ définit une transformation, notée ${\displaystyle \gamma _{t}:H\to H}$ de ${\displaystyle H}$ dans lui-même qui envoie un élément ${\displaystyle h}$ sur ${\displaystyle ht}$ :

${\displaystyle \gamma _{t}:h\mapsto ht}$.

L'ensemble ${\displaystyle \Gamma (H)}$ de ces transformations est en fait un groupe pour la composition des fonctions, considérées comme opérant à droite (${\displaystyle \gamma _{ts}=\gamma _{t}\circ \gamma _{s}}$). C'est le groupe de Schützenberger associé à la ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-classe ${\displaystyle H}$. L'autre groupe de Schützenberger est le groupe des multiplications à droite ${\displaystyle \delta _{t}:h\mapsto th}$.

Toute ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-classe ${\displaystyle H}$ a la même cardinalité que son groupe de Schützenberger ${\displaystyle \Gamma (H)}$. Si ${\displaystyle H}$ est un sous-groupe maximal d'un monoïde ${\displaystyle M}$, alors ${\displaystyle H}$ est une ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-classe et est canoniquement isomorphe à son groupe de Schützenberger.

Un certain nombre de propriétés algébriques des monoïdes se reflètent dans leur groupe de Schützenberger. Ainsi, un monoïde qui a un nombre fini d'idéaux à gauche et à droite est finiment présenté, ou simplement finiment engendré si et seulement si tous ses groupes de Schützenberger le sont.