Fouille d'images

En utilisant[2] - [3] les outils mis au point en théorie de l'Espace d'échelle, on peut segmenter hiérarchiquement une image. Si ${\displaystyle p(x):\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$ est une correspondance continue d'une image, on sait bâtir une famille de fonctions ${\displaystyle P(x,\sigma )=p(x)*g(x,\sigma )}$ où ${\displaystyle g(x,\sigma )={\frac {1}{(\sigma ^{2}2\pi )}}e^{\frac {-\|x\|^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ est une gaussienne.
Pour chaque ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{2}}$ pour lequel ${\displaystyle P(x,\sigma )}$ atteint un maximum local, à un facteur d'échelle donné, on définit le Blob de lumière (« light blob ») de la manière suivante :

${\displaystyle \mathrm {B} _{y}=({x_{0}\in \mathbb {R} ^{2}:\lim _{t\to \infty }x(t,x_{0})=y}),x(t,x_{0})}$ étant une solution du système d'équation différentielle :

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}=\bigtriangledown _{x}P(x,\sigma )\\x(0)=x_{0}\end{cases}}}$

${\displaystyle y}$ est le centre du Blob de lumière, tous les blobs forment une partition de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Les maximum locaux satisfont l'équation ${\displaystyle \bigtriangledown _{x}P(x,\sigma )=0}$ et forment une courbe simple.
L'algorithme de segmentation se déroule ainsi dans l'espace d'échelle[2] :

1. À l'échelle ${\displaystyle \sigma =0}$, tous les points sont des centres des blobs de lumières.
2. quand ${\displaystyle \sigma }$ s’accroît continument, si le centre du blob de lumière suit la courbe des maximas et aucun autre centre de blob de lumière n'est absorbé par celle-ci, la segmentation ne change pas. Si au contraire un autre centre de blob de lumière est absorbé dans celle-ci les deux blobs de lumières fusionnent et une nouvelle segmentation est créée.
3. L'algorithme s’arrête quand tous les points sont dans un seul blob de lumière.

Une segmentation par dendrogramme hiérarchique est ainsi créée avec pour hauteurs les facteurs d'échelle.

la durée de vie[3] d'une classe : elle est mesurée par la différence entre l'échelle où la classe apparait et celle où elle disparait. Plus précisément :

${\displaystyle dureedevie_{\mathbb {C} _{i}}=\ln(\sigma _{2})-\ln(\sigma _{1})}$.

Une classe est de qualité si sa durée de vie est importante.

l'isolation[2] : traduit le fait que plus les classes sont éloignées, plus la segmentation est de qualité. L'isolation de la classe ${\displaystyle \mathbb {C} _{i}}$ se mesure par la formule :

${\displaystyle isolation_{\mathbb {C} _{i}}={\frac {\sum _{x\in \mathbb {C} _{i}}e^{\frac {-\|x-p_{i}\|^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\sum _{x}e^{\frac {-\|x-p_{i}\|^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}}$

La densité : exprime que les éléments à l'intérieur d'une classe sont proches, et plus les classes sont compactes plus la segmentation est de qualité. On a :

${\displaystyle densite_{\mathbb {C} _{i}}={\frac {\sum _{x\in \mathbb {C} _{i}}e^{\frac {-\|x-p_{i}\|^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\sum _{x\in \mathbb {C} _{i}}\sum _{j}e^{\frac {-\|x-p_{j}\|^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}}$

où ${\displaystyle p_{i}}$ est le centre de la classe ${\displaystyle \mathbb {C} _{i}}$ .

${\displaystyle }$

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