Formule de Rydberg

Dans la formule manuscrite apparaissant sur l'image :

${\displaystyle {\frac {n}{N_{0}}}={\frac {1}{(m_{1}+c_{1})^{2}}}-{\frac {1}{(m_{2}+c_{2})^{2}}}}$

Rydberg désignait :

par ${\displaystyle n}$, le nombre d'oscillations par mètre, soit la fréquence spatiale ;

par ${\displaystyle N_{0}}$, la constante de nombre d'oscillations ;

par ${\displaystyle m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{2}}$, des entiers avec ${\displaystyle m_{2}>m_{1}}$ ;

par ${\displaystyle c_{1}}$ et ${\displaystyle c_{2}}$, des nombres ${\displaystyle <1}$.

Il est apparu que, pour l'atome d'hydrogène, les coefficients ${\displaystyle c_{1}}$ et ${\displaystyle c_{2}}$ sont nuls. Il pouvait donc ré-écrire la formule

${\displaystyle n={N_{0}}\left({\frac {1}{m_{1}^{2}}}-{\frac {1}{m_{2}^{2}}}\right)}$

En nommant ${\displaystyle \sigma }$ la fréquence spatiale dans le vide de la raie, en changeant ${\displaystyle m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{2}}$ par ${\displaystyle n_{1}}$ et ${\displaystyle n_{2}}$ et en remplaçant le symbole ${\displaystyle N_{0}}$ de la constante par ${\displaystyle R_{H}}$, la constante de Rydberg de l'hydrogène, la formule devient :

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\lambda }}=R_{H}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

où :

${\displaystyle \lambda }$ est la longueur d'onde de la raie dans le vide ;

${\displaystyle n_{1}}$ et ${\displaystyle n_{2}}$ sont des entiers tels que ${\displaystyle n_{2}>n_{1}}$.

Les différents coefficients ${\displaystyle n_{1}}$ donnent naissance à différentes séries de raies spectrales lorsque le coefficient ${\displaystyle n_{2}}$ va de ${\displaystyle n_{1}+1}$ à l'infini.

${\displaystyle R_{H}=1,097\,373\dots \times 10^{7}\,\,m^{-1}}$

Pour chaque série, les valeurs limites de ${\displaystyle \sigma }$ et de ${\displaystyle \lambda }$ sont égales à :

${\displaystyle \sigma _{n_{1},\infty }={\frac {R_{H}}{n_{1}^{2}}}}$ et ${\displaystyle \lambda _{n_{1},\infty }={\frac {n_{1}^{2}}{R_{H}}}}$

Tableau des séries de raies de l'hydrogène

${\displaystyle n_{1}}$	${\displaystyle n_{2}}$	Nom	${\displaystyle \lambda _{n_{2}}}$ (nm)	${\displaystyle \lambda _{\infty }}$ (nm)	Domaine
1	${\displaystyle 2\rightarrow \infty }$	Série de Lyman	121	91	UV
2	${\displaystyle 3\rightarrow \infty }$	Série de Balmer	656	365	visible
3	${\displaystyle 4\rightarrow \infty }$	Série de Paschen	1 874	820	IR
4	${\displaystyle 5\rightarrow \infty }$	Série de Brackett	4 052	1 458	IR
5	${\displaystyle 6\rightarrow \infty }$	Série de Pfund	7 476	2 278	IR
6	${\displaystyle 7\rightarrow \infty }$	Série de Humphreys	12 368	3 280	IR

La formule ci-dessus peut être généralisée à tout ion hydrogénoïde, c'est-à-dire ne possédant qu'un unique électron. Les ions He⁺, Li²⁺, Be³⁺ en sont des exemples.

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\lambda }}={R_{M}}\times \left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

${\displaystyle n_{1}}$, numéro de la série, et ${\displaystyle n_{2}}$, numéro de la raie dans la série, sont des entiers tels que ${\displaystyle n_{2}>n_{1}}$

${\displaystyle R_{M}}$, la constante de Rydberg de l'atome

${\displaystyle R_{M}={\frac {Z^{2}R_{\infty }}{1+{\frac {m_{e}}{M}}}}}$

où :

${\displaystyle Z}$ est le numéro atomique ;

${\displaystyle M}$ est la masse atomique de l'élément ;

${\displaystyle m_{e}}$ est la masse de l'électron.

Nb

Il apparaît que cette formule de Rydberg est celle d'une famille d'hyperboles, ${\displaystyle n_{1}}$ et ${\displaystyle n_{2}}$ définissant les positions respectives des sommets et des foyers. Ces hyperboles sont des franges d'interférences produites entre les ondes émises par le proton et par l'électron. Comme l'atome d'hydrogène n'a qu'un proton et qu'un électron, la représentation graphique des interférences est simple et claire; pour les autres atomes, à l'exception des hydrogénoïdes, le modèle devient plus brouillé.

• Constante de Rydberg
• Johannes Rydberg
• Walther Ritz