Formule de Hadjicostas-Chapman
En mathĂ©matiques, la formule de Hadjicostas-Chapman (ou formule de Hadjicostas) est une formule reliant une certaine double intĂ©grale aux valeurs de la fonction gamma et de la fonction zĂȘta de Riemann. Elle est nommĂ©e d'aprĂšs Petros Hadjicostas qui l'a conjecturĂ©e et Robin Chapman qui l'a prouvĂ©e.
ĂnoncĂ©
Soit un nombre complexe tel que . On a alors
Ici, dĂ©signe la fonction gamma et est la fonction zĂȘta de Riemann.
Contexte
Le premier exemple de la formule a Ă©tĂ© prouvĂ© et utilisĂ© par Frits Beukers (en) dans son article de 1978 donnant une preuve alternative du thĂ©orĂšme d'ApĂ©ry[1]. Il a prouvĂ© la formule lorsque s = 0, et a prouvĂ© une formulation Ă©quivalente pour le cas s = 1. Cela a conduit Petros Hadjicostas Ă conjecturer la formule ci-dessus en 2004[2] et en une semaine, elle avait Ă©tĂ© prouvĂ©e par Robin Chapman[3]. Il a prouvĂ© que la formule est vraie lorsque Re(s) > â1, puis a Ă©tendu le rĂ©sultat par suite analytique pour obtenir le rĂ©sultat complet.
Cas particuliers
Outre les deux cas utilisĂ©s par Beukers pour obtenir des expressions alternatives pour ζ(2) et ζ(3), la formule peut ĂȘtre utilisĂ©e pour exprimer la constante d'Euler-Mascheroni comme une intĂ©grale double en faisant s tendre vers â1 :
Cette derniÚre formule a été découverte pour la premiÚre fois par Jonathan Sondow[4] et elle est mentionnée dans le titre de l'article de Hadjicostas.
Références
- (en) F. Beukers, « A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3) », Bull. London Math. Soc., vol. 11, no 3,â , p. 268-272 (DOI 10.1112/blms/11.3.268).
- (en) Petros Hadjicostas, « A conjecture-generalization of Sondow's formula », (arXiv math/0405423).
- (en) Robin Chapman, « A proof of Hadjicostas's conjecture », (arXiv math/0405478).
- (en) J. Sondow, « Criteria for irrationality of Euler's constant », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 131,â , p. 3335-3334 (DOI 10.1090/S0002-9939-03-07081-3).
Voir Ă©galement
- (en) K. H. Pilehrood et T. H. Pilehrood, « Vacca-type series for values of the generalized-Euler-constant function and its derivative », J. Integer Seq., vol. 13, no 7,â (arXiv 0808.0410)
- (en) J. Sondow, « Double integrals for Euler's constant and ln 4/Ï and an analog of Hadjicostas's formula », American Mathematical Monthly, vol. 112,â , p. 61-65 (DOI 10.2307/30037385, arXiv math.CA/0211148)
- (en) Jonathan Sondow et Hadjicostas, « The generalized-Euler-constant function Îł(z) and a generalization of Somos's quadratic recurrence constant », Journal of Mathematical Analysis and Applications (en), vol. 332,â , p. 292-314 (DOI 10.1016/j.jmaa.2006.09.081, arXiv math/0610499)