Fonctions de Lamé

En physique mathématique, Gabriel Lamé étudie l'équilibre des températures dans les corps homogènes de forme ellipsoïdale et découvre en 1837 une équation différentielle, dont les solutions seront appelées les "fonctions de Lamé ". Mais Jacobi en 1839 a découvert ces fonctions indépendamment. La théorie de ces fonctions a ensuite été élaborée par Joseph Liouville et Eduard Heine. L'équation différentielle linéaire de Lamé peut se réécrire (forme d'Hermite) :

• ${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}(t)\cdot x=0}$, avec
• ${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{o}^{2}-n(n+1)k^{2}\cdot sn^{2}(t,k)}$.

Où ${\displaystyle sn(t,k)}$ est la fonction sinus elliptique de Jacobi.

La forme originale de Lamé est :

• ${\displaystyle (x^{4}-qx^{2}+p){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(2x^{3}-qx){\frac {dy}{dx}}+(\lambda -n(n+1)x^{2})y=0}$

Les solutions sont appelées les fonctions de Lamé.

Plus tard, Poincaré dégagera le concept de fonction fuchsienne (ou fonction de Fuchs) et en 1894, Felix Klein et Maxime Bôcher feront une équation de Lamé « généralisée », équation différentielle linéaire à coefficients variables, à 5 singularités (dont l'une est l'infini).

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