Fonction gamma multidimensionnelle
Définitions

où S>0 signifie que S est une matrice définie positive.
En pratique, on utilise
![{\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left[a+(1-j)/2\right].}](https://img.franco.wiki/i/4dc9bcc58164ece0de7aef7b0ba2b1a0925a1a04.svg)
Le calcul est facilité par les relations de récurrence :
![{\displaystyle =\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma [a+(1-p)/2].}](https://img.franco.wiki/i/43e2b35260c9ca792bbede0d4328da0cbb7d270a.svg)
Ainsi,



etc.
Dérivation
On définit la fonction digamma multivariée :

et la fonction polygamma généralisée :

Calcul
Vu que

- on tire

Par définition de la fonction digamma ψ,

- il s'ensuit que


Références
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