Fonction gamma multidimensionnelle
Définitions
![{\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\int _{S>0}\left|S\right|^{a-(p+1)/2}\ e^{-{\rm {trace(S)}}}dS,}](https://img.franco.wiki/i/293adf5a6ed58df42ac8c930fed2607f23af9980.svg)
où S>0 signifie que S est une matrice définie positive.
En pratique, on utilise
![{\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left[a+(1-j)/2\right].}](https://img.franco.wiki/i/4dc9bcc58164ece0de7aef7b0ba2b1a0925a1a04.svg)
Le calcul est facilité par les relations de récurrence :
![{\displaystyle =\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma [a+(1-p)/2].}](https://img.franco.wiki/i/43e2b35260c9ca792bbede0d4328da0cbb7d270a.svg)
Ainsi,
![{\displaystyle \Gamma _{1}(a)=\Gamma (a)}](https://img.franco.wiki/i/e357ec080e62e5edd491f28ae54bd8d80cb0f82f.svg)
![{\displaystyle \Gamma _{2}(a)=\pi ^{1/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)}](https://img.franco.wiki/i/ba5fd619360ecdb2169b46f16f66221513e8d4da.svg)
![{\displaystyle \Gamma _{3}(a)=\pi ^{3/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)\Gamma (a-1)}](https://img.franco.wiki/i/2143c078c0f097090f6d99fe1880a9c8121aa61e.svg)
etc.
Dérivation
On définit la fonction digamma multivariée :
![{\displaystyle \psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2),}](https://img.franco.wiki/i/eddc4b127fa06c312ae75f989a89b6b5de10eb34.svg)
et la fonction polygamma généralisée :
![{\displaystyle \psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}(a+(1-i)/2).}](https://img.franco.wiki/i/66bf472945d78bc218b4a41b547f8d79fd718981.svg)
Calcul
Vu que
![{\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+{\frac {1-j}{2}}),}](https://img.franco.wiki/i/f8a72f554f549735d53532b27228b74f296a2753.svg)
- on tire
![{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\sum _{i=1}^{p}{\frac {\partial \Gamma (a+{\frac {1-i}{2}})}{\partial a}}\prod _{j=1,j\neq i}^{p}\Gamma (a+{\frac {1-j}{2}}).}](https://img.franco.wiki/i/566069f6f8efc4bc0204f4847a554477f8bdce74.svg)
Par définition de la fonction digamma ψ,
![{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a+{\frac {1-i}{2}})}{\partial a}}=\psi (a+{\frac {1-i}{2}})\Gamma (a+{\frac {1-i}{2}})}](https://img.franco.wiki/i/62c5b2b3a2693ef5ebd63884484c027bf8d890a6.svg)
- il s'ensuit que
![{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+{\frac {1-j}{2}})\sum _{i=1}^{p}\psi (a+{\frac {1-i}{2}})}](https://img.franco.wiki/i/3abdaebc538b3ca0c229022ed298330fc69c61c8.svg)
![{\displaystyle =\Gamma _{p}(a)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+{\frac {1-i}{2}}).}](https://img.franco.wiki/i/13154abc07daa25b9a31a337c90267c497ef34d6.svg)
Références
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