Fonction gamma multidimensionnelle

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\int _{S>0}\left|S\right|^{a-(p+1)/2}\ e^{-{\rm {trace(S)}}}dS,}$

où S>0 signifie que S est une matrice définie positive.

En pratique, on utilise

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left[a+(1-j)/2\right].}$

Le calcul est facilité par les relations de récurrence :

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2}})}$

${\displaystyle =\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma [a+(1-p)/2].}$

Ainsi,

• ${\displaystyle \Gamma _{1}(a)=\Gamma (a)}$
• ${\displaystyle \Gamma _{2}(a)=\pi ^{1/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)}$
• ${\displaystyle \Gamma _{3}(a)=\pi ^{3/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)\Gamma (a-1)}$

etc.

On définit la fonction digamma multivariée :

${\displaystyle \psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2),}$

et la fonction polygamma généralisée :

${\displaystyle \psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}(a+(1-i)/2).}$

Calcul

Vu que

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+{\frac {1-j}{2}}),}$

on tire

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\sum _{i=1}^{p}{\frac {\partial \Gamma (a+{\frac {1-i}{2}})}{\partial a}}\prod _{j=1,j\neq i}^{p}\Gamma (a+{\frac {1-j}{2}}).}$

Par définition de la fonction digamma ψ,

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a+{\frac {1-i}{2}})}{\partial a}}=\psi (a+{\frac {1-i}{2}})\Gamma (a+{\frac {1-i}{2}})}$

il s'ensuit que

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+{\frac {1-j}{2}})\sum _{i=1}^{p}\psi (a+{\frac {1-i}{2}})}$

${\displaystyle =\Gamma _{p}(a)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+{\frac {1-i}{2}}).}$

• James A., "Distributions of Matrix Variates and Latent Roots Derived from Normal Samples", Annals of Mathematical Statistics vol.35/2, 1964, pages 475–501