Fonction de Legendre
Définition
Les fonctions associées de Legendre sont les solutions de l’équation générale de Legendre:
![{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]\,y=0,\,}](https://img.franco.wiki/i/cd12eaa0c0059a54a91bc1f6a0e193da811969db.svg)
où λ et μ sont en général des nombres complexes appelés respectivement le degré et l’ordre de la fonction associée de Legendre. Le cas des fonctions de Legendre correspond à μ = 0 ; si par surcroît λ est un entier positif, ces fonctions se réduisent aux polynômes orthogonaux de Legendre.
Les polynômes associés de Legendre correspondent, eux, au cas où λ et μ sont des entiers (positifs pour λ).
Expressions
La fonction associée de Legendre de première espèce Pμ
λ s'exprime en fonction de la fonction hypergéométrique
:
- ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{pour }}\ |1-z|<2}
![{\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{pour }}\ |1-z|<2}](https://img.franco.wiki/i/52e7bfe5565f814db9935d351b4cab12458c9975.svg)
où
est la fonction gamma.
L'équation générale de Legendre étant du second ordre, elle admet une autre solution, dite de seconde espèce, notée
, et définie par :
![{\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{pour}}\ \ |z|>1.}](https://img.franco.wiki/i/f22c8fc96918cd525f43a628a670d5be508a945c.svg)
Représentations intégrales
Les fonctions de Legendre peuvent s'exprimer sous formes d'intégrales de contour. Ainsi on a :
![{\displaystyle P_{\lambda }(z)={\frac {1}{2\mathrm {i} \pi }}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}\mathrm {d} t,}](https://img.franco.wiki/i/5b8acb7d20d4369edc32be136eb5e899f958b625.svg)
où le contour est défini comme celui allant des points 1 à z des parties réelles croissantes, sans entourer le point –1.
Pour x réel, cette représentation devient :
![{\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} .}](https://img.franco.wiki/i/f40684163a5e4845b0507803d6109740cca0b1ba.svg)
Références
- Snow, Chester, Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory, U. S. Government Printing Office, Washington, D.C.,National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, 1942. Disponible à l'adresse .
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