Fonction de Legendre
Définition
Les fonctions associées de Legendre sont les solutions de l’équation générale de Legendre:
![{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]\,y=0,\,}](https://img.franco.wiki/i/cd12eaa0c0059a54a91bc1f6a0e193da811969db.svg)
où λ et μ sont en général des nombres complexes appelés respectivement le degré et l’ordre de la fonction associée de Legendre. Le cas des fonctions de Legendre correspond à μ = 0 ; si par surcroît λ est un entier positif, ces fonctions se réduisent aux polynômes orthogonaux de Legendre.
Les polynômes associés de Legendre correspondent, eux, au cas où λ et μ sont des entiers (positifs pour λ).
Expressions
La fonction associée de Legendre de première espèce Pμ
λ s'exprime en fonction de la fonction hypergéométrique
:
- ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{pour }}\ |1-z|<2}
![{\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{pour }}\ |1-z|<2}](https://img.franco.wiki/i/52e7bfe5565f814db9935d351b4cab12458c9975.svg)
où
est la fonction gamma.
L'équation générale de Legendre étant du second ordre, elle admet une autre solution, dite de seconde espèce, notée
, et définie par :

Représentations intégrales
Les fonctions de Legendre peuvent s'exprimer sous formes d'intégrales de contour. Ainsi on a :

où le contour est défini comme celui allant des points 1 à z des parties réelles croissantes, sans entourer le point –1.
Pour x réel, cette représentation devient :

Références
- Snow, Chester, Hypergeometric and Legendre functions with applications to integral equations of potential theory, U. S. Government Printing Office, Washington, D.C.,National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 19, 1942. Disponible à l'adresse .
Liens externes
Cet article est issu de
wikipedia. Text licence:
CC BY-SA 4.0, Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.