Fonction causale

En physique, le principe de causalité indique qu'un effet ne peut précéder sa cause. Par conséquent, t étant la variable temps, si la fonction R caractérise la réponse d'un système physique à un signal ${\displaystyle S(t)}$ parvenu au temps ${\displaystyle t=0}$, cette fonction-réponse doit être nulle pour ${\displaystyle t<0}$ : la fonction R est causale.

Après un changement de variable par translation, une fonction causale f peut s'écrire sous la forme ${\displaystyle f(t)=H(t)g(t)}$, où H est la fonction de Heaviside.

Sachant que la transformée de Fourier de H est égale à ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\delta (\nu )-i{\frac {1}{\pi \nu }}\right)}$, et connaissant les propriétés de cette transformation, on obtient :

${\displaystyle {\hat {f}}(\nu )={\frac {1}{2}}\left(\delta (\nu )-\mathrm {i} {\frac {1}{\pi \nu }}\right)\ast {\hat {g}}(\nu )={\frac {1}{2}}\left({\hat {g}}(\nu )-\mathrm {i} {\mathcal {H}}\{{\hat {g}}\}(\nu )\right)}$,

où ${\displaystyle {\mathcal {H}}\{{\hat {g}}\}}$ est la transformée de Hilbert de la fonction ${\displaystyle {\hat {g}}}$.

François Roddier, Distributions et Transformation de Fourier, McGraw-Hill, 1971 (ISBN 2 7042 1004 7).