Fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2

En géostatistique, une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 (abrégée en FASt-2) est une fonction aléatoire $Z$ sur un espace $S$ telle que :

sa moyenne est constante : $E x [Z (x)] = m$

sa covariance est invariante par translation, fonction du seul vecteur distance $h$ entre les deux points : $Cov[Z (x), Z (x + h)]= C (h)$

Le processus est dit centré si sa moyenne est nulle en tout point

Les espérance et variance d'une combinaison linéaire s'expriment simplement : $\mathrm {E} \left[\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}\right]=\mathrm {E} \left[Z\right]\sum _{i}\lambda _{i}$ $\mathrm {Var} \left[\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}\right]=\sum _{i}\sum _{j}\lambda _{i}\lambda _{j}\mathrm {Cov} \left[Z_{i},Z_{j}\right]$

Propriétés

La covariance de covariance stationnaire $C$ doit être semi-définie positive :

$\forall m,a\in \mathbb {R} ^{m},z_{1}\cdots z_{m},\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}a_{i}a_{j}C\left(z_{i}-z_{j}\right)\geq 0$

Usuellement, la covariance tend vers 0 à l'infini.
En corollaire, la variance de $Z$ est constante : $Var[Z (x)] = C (0)$ .
On définit le corrélogramme $ρ (h) = C (h) ⁄ C (0)$ , coefficient de corrélation entre $Z (x)$ et $Z (x + h)$ .
Une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 est également intrinsèque.
$\forall h, C (h)\leq C (0)$
La propriété est conservée par linéarité : soit $A : ℝ d \toℝ d$ linéaire, le champ image $Z A =(Z A i, i \in S$ est stationnaire de covariance $C A (x i)= C (A x i)$ , et $C A$ est définie positive si $C$ l'est et si $A$ est de rang plein.
Si $C$ est continue à l'origine, elle est uniformément continue partout.
Si C_i sont des covariances stationnaires, a_i ≥ 0, alors :
- La somme finie $\sum i C i$ ( $i \in ⟦1; n ⟧$ ) est une covariance stationnaire
- Le produit fini $\prod i C i$ ( $i \in ⟦1; n ⟧$ ) est une covariance stationnaire
- La limite $lim i \to\infty C i (h)$ est une covariance stationnaire si la limite existe pour tout $h$
Si $C u, u \in U \subseteqℝ k$ sont des covariances stationnaires, $μ$ une mesure positive sur $ℝ k$ telle que $C μ (h)=\int U C u (h) μ (d u)$ existe pour tout $h$ , alors $C μ$ est une covariance stationnaire.

Champ stationnaire au second ordre sur $ℤ d$

Soit $X$ un champ réel sur $ℝ d$ , centré et stationnaire au second ordre. On le suppose connu sur $D n = ⟦1 ; n ⟧ d$ . Prenons la covariance empirique à une distance $k \in ℤ d$ : ${\hat {C}}_{n}\left(k\right)={\frac {1}{n^{d}}}\sum _{i,i+k\in D_{n}}X_{i}X_{i+k}$ Les effets de bords augmentent avec $d$ : la proportion de points au bord de $D n$ est en $d ⁄ n$ . L'effet de bord est sans conséquence sur le biais asymptotique sur $ℤ$ , il est significatif sur $ℤ 2$ et dominant sur $ℤ d, d \geq 3$ . Pour éliminer ce biais et conserver une covariance empirique semi-définie positive, on procède au rabotage de données, par un rabot $w : [0 ; 1]\to[0 ; 1]$ , $C 2$ , croissant, $w (0) = 0$ , $w (1) = 1$ .

Voir aussi

champ du second ordre (ou processus du second ordre), cas général où la moyenne est fonction du lieu.

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Fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2

Propriétés

Champ stationnaire au second ordre sur ℤd

Voir aussi

Champ stationnaire au second ordre sur $ℤ d$