Filtre à réponse impulsionnelle infinie

De façon générale, le filtre à réponse impulsionnelle infinie est décrit par l'équation aux différences suivantes où x représente les valeurs du signal d'entrée et y les valeurs du signal de sortie.

${\displaystyle y[n]=b_{0}\cdot x[n]+b_{1}\cdot x[n-1]+b_{2}\cdot x[n-2]+....+b_{N}\cdot x[n-N]-a_{1}\cdot y[n-1]-a_{2}\cdot y[n-2]-...-a_{M}\cdot y[n-M]}$

En utilisant le symbole de sommation, l'équation peut être réécrite de la façon suivante :

${\displaystyle y[n]={\sum _{k=0}^{N}}b_{k}\cdot x[n-k]-{\sum _{k=1}^{M}}a_{k}\cdot y[n-k]}$

La fonction de transfert en ${\displaystyle Z}$ s'écrit:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+...}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+...}}}$

Figure 1. Réalisation directe de type 1 d'un filtre à réponse impulsionnelle infinie.

Les filtres numériques peuvent être réalisés à l'aide de trois éléments ou opérations de base, soit l'élément gain, l'élément de sommation et le retard unitaire ; ces éléments sont suffisants pour réaliser tous les filtres numériques linéaires possibles. La réalisation présentée dans la figure 1 est une réalisation directe de type 1 du filtre RII.

Un filtre passe bas du premier ordre, de constante de temps ${\displaystyle \tau ={\frac {\Delta t}{2\alpha }}}$, de fréquence coupure ${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\Pi \tau }}={\frac {\alpha }{\Pi \Delta t}}}$ où ${\displaystyle \Delta t}$ est la période d’échantillonnage admet la fonction de transfert en z suivante:

${\displaystyle H(z)={\frac {{\frac {\alpha }{\alpha +1}}+{\frac {\alpha }{\alpha +1}}z^{-1}}{1+{\frac {\alpha -1}{\alpha +1}}z^{-1}}}}$

On en déduit donc la relation récursive suivante:

${\displaystyle y[n]={\frac {\alpha }{\alpha +1}}x[n]+{\frac {\alpha }{\alpha +1}}x[n-1]-{\frac {\alpha -1}{\alpha +1}}y[n-1]}$

La réponse impulsionnelle de ce filtre est une exponentielle décroissante.

Les remarques générales suivantes peuvent être portées sur les filtres RII :

• Les filtres RII ne sont pas forcément stables, la stabilité dépend de la position des pôles dans le plan complexe ;
• Beaucoup moins de calculs par rapport à un filtre RIF équivalent au niveau des performances ;
• Généralement, les filtres RII sont plus sensibles aux erreurs de quantification que les filtres RIF. La récursivité peut générer des erreurs cumulatives ;
• Un filtre RII est plus sélectif qu'un filtre RIF du même ordre, c'est-à-dire que la transition entre la bande passante et la bande rejetée est plus rapide que dans le cas du filtre RIF.

• (en) Ashock Ambardar, Analog and Digital Signal Processing, Brooks/Cole, 1999 (ISBN 053495409X)

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