Espace d'ordres

On se donne un groupe multiplicatif d'exposant ${\displaystyle 2}$, c’est-à-dire ${\displaystyle \forall g\in G}$, on a ${\displaystyle g^{2}=1}$ (on note ${\displaystyle 1}$ le neutre).

On distingue un élément remarquable ${\displaystyle -1}$ de ${\displaystyle G}$, dit élément distingué. On munit ${\displaystyle G}$ de la topologie discrète.

On note ${\displaystyle {\widehat {G}}=Hom(G,\mathbb {C} )}$ le groupe topologique dual de ${\displaystyle G}$, qui est compact.

Par la nilpotence des éléments de ${\displaystyle G}$ que ${\displaystyle Hom(G,\mathbb {C} )=Hom(G,\mathbb {Z} _{2})}$ avec ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{1,-1\}}$ vu comme groupe multiplicatif.

On se donne maintenant un sous-ensemble non vide ${\displaystyle X\subset {\widehat {G}}}$.

Le couple ${\displaystyle (X,G)}$ est dit un pré-espace d'ordre si les trois axiomes suivants (« axiomes de Marshall ») sont vérifiés[1] :

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}}$ ${\displaystyle X}$ est un fermé de ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}}$ ${\displaystyle \sigma (-1)=-1,~\forall ~\sigma \in X}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{3}}$ ${\displaystyle \sigma (g)=1,~\forall ~\sigma \in X\Rightarrow g=1}$.

L'axiome ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{3}}$ est dit axiome de séparation, i.e. ${\displaystyle X}$ sépare les éléments de ${\displaystyle G}$.

Dans le cas où ${\displaystyle G}$ est le groupe multiplicatif ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=(\pm 1,\times )}$.

L'unique pré-espace d'ordre associé à ce groupe est l'espace trivial ${\displaystyle E}$ constitué d'un seul élément.

• (en) Carlos Andradas, Ludwig Bröcker et Jesus M. Ruiz, Constructible Sets in Real Geometry, Berlin/Heidelberg/New York, Springer, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete » (n^o 33), 1996, 3^e éd., 270 p. (ISBN 3-540-60451-0), p. 85-123, chapitre IV : Spaces of Orderings
• (en) Murray A. Marshall, Spaces of Orderings and Abstract Real Spectra, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 1636), 1996
• (en) Murray Marshall, « Classification of Finite Spaces of Orderings », Canad. J. Math., vol. 31,‎ 1979, p. 320-330 (lire en ligne)