Epsilon de Hilbert

Pour tout langage formel L, on prolonge L par adjonction de l'opérateur epsilon afin de redéfinir la quantification :

• ${\displaystyle (\exists x)A(x)\ \equiv \ A(\epsilon x\ A)}$
• ${\displaystyle (\forall x)A(x)\ \equiv \ A(\epsilon x\ (\neg A))}$

L'interprétation voulue de εx A est que certaines valeurs de x satisfont à A, si elles existent. En d'autres termes, εx A renvoie un certain élément t tel que A(t) est vrai, sinon elle renvoie un terme arbitraire ou choisi par défaut. Si plus d'un terme vérifie A, alors n'importe lequel de ces termes (qui rend A vrai) peut être choisi, de manière non-déterministe. Il est nécessaire de définir l'égalité en vertu de L, et les seules règles nécessaires pour L prolongé par l'opérateur epsilon sont modus ponens et la substitution d' A(t) pour remplacer A(x) pour tout terme t[2].

Dans la Théorie des Ensembles de N. Bourbaki, les quantificateurs sont définis comme suit :

• ${\displaystyle (\exists x)A(x)\ \equiv \ (\tau _{x}(A)|x)A}$
• ${\displaystyle (\forall x)A(x)\ \equiv \ \neg (\tau _{x}(\neg A)|x)\neg A\ \equiv \ (\tau _{x}(\neg A)|x)A}$

où A est une relation dans L, x est une variable ; et ${\displaystyle \tau _{x}(A)}$ juxtapose un ${\displaystyle \tau }$ à gauche de A, remplace toutes les occurrences de x avec ${\displaystyle \square }$ et les relie à ${\displaystyle \tau }$. Soit Y un assemblage, (Y|x)A désigne le remplacement de toutes les variables x dans A avec Y.

Cette notation est équivalente à la notation de Hilbert et est lue de la même manière. Elle est utilisée par Bourbaki pour définir le cardinal d'affectation puisqu'il n'utilise pas l'axiome de remplacement.

Définir des quantificateurs de cette manière mène à un grand manque d'efficacité. Par exemple, l'expansion, à l'aide de cette notation, de la définition originale de Bourbaki du nombre un a une longueur d'environ 4,5 × 10¹², et pour une édition ultérieure de Bourbaki qui combine cette notation avec la définition de Kuratowski des paires ordonnées, ce nombre atteint environ 2,4 × 10⁵⁴[3].

Une théorie soumise à un contrôle de cohérence est d'abord incorporée dans un epsilon de Hilbert approprié. Deuxièmement, un processus est développé pour la réécriture des théorèmes quantifiés afin que ceux-ci soient exprimés en termes d'opérations epsilon par l'intermédiaire de la méthode de substitution epsilon. Enfin, il doit être montré que le processus normalise le processus de réécriture, de sorte que les théorèmes réécrits satisfont les axiomes de la théorie[4].