Ensemble rectifiable

Une partie A de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est m-rectifiable s'il existe une famille dénombrable d'applications ${\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ telle que

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\left(A\setminus \bigcup _{i}f_{i}(\mathbb {R} ^{m})\right)=0~,}$

où ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ est la mesure de Hausdorff de dimension m.

A est purement non m-rectifiable si pour toute application ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$,

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\left(A\cap f(\mathbb {R} ^{m})\right)=0~.}$

On obtient des définitions équivalentes en remplaçant ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ par application lipschitzienne.

• Un exemple de partie purement non 1-rectifiable de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ est le produit de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor par lui-même.

• Les parties rectifiables sont une généralisation, du point de vue de la théorie de la mesure, des sous-variétés. Par exemple, on peut définir la notion de sous-espace (de dimension m) presque tangent en un point de A, et montrer que A est m-rectifiable si et seulement si, en ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-presque chacun de ses points, elle admet un tel sous-espace presque tangent.

• Toute partie de ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-mesure finie est réunion d'une partie m-rectifiable et d'une partie purement non m-rectifiable (dont l'intersection est nécessairement ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-négligeable).

• Théorème de projection de Besicovitch-Federer : si une partie A, de ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-mesure finie, est purement non m-rectifiable, alors pour presque tout sous-espace P de dimension m, le projeté orthogonal de A sur P est ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$-négligeable.

(en) T.C. O'Neil, « Geometric measure theory », dans Encyclopedia of Mathematics, Springer online (lire en ligne)