Ensemble de Smith-Volterra-Cantor

De construction similaire à l'ensemble de Cantor, l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est construit en retirant itérativement des intervalles à l'intervalle unité [0, 1].

Le processus commence en retirant le quart médian de l'intervalle [0, 1]. L'ensemble résultat est donc

${\displaystyle \left[0,{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},1\right].}$

Les étapes suivantes consistent à retirer des sous-intervalles de longueur 1/2²ⁿ du milieu des 2ⁿ⁻¹ intervalles restant. À la deuxième étape on retire donc (5/32, 7/32) et (25/32, 27/32) et l'ensemble résultat devient :

${\displaystyle \left[0,{\frac {5}{32}}\right]\cup \left[{\frac {7}{32}},{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},{\frac {25}{32}}\right]\cup \left[{\frac {27}{32}},1\right].}$

Itérant cette règle à l'infini, l'ensemble de Smith–Volterra–Cantor est l'ensemble des points qui ne seront jamais retirés. L'image suivante illustre l'ensemble initial et cinq itérations.

Par construction l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor ne contient aucun intervalle. Or, durant le processus, on retire :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}(1/2^{2n+2})={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\,}$

Prouvant que l'ensemble des points restants est de mesure non nulle et égale à 1/2.

Généralisation : En retirant r_n de chaque sous-intervalle restant à l'itération n, l'ensemble résiduel aura une mesure positive si et seulement si la somme des termes de la suite est inférieure à la mesure de l'intervalle initial.

• En conséquence, et bien que d'aspect fractal, la dimension de Hausdorff d'un tel ensemble aura dans tous les cas pour valeur 1.
• L'ensemble de Smith-Volterra-Cantor est utilisé dans la construction de la fonction de Volterra.
• C'est un exemple d'ensemble compact qui n'est pas mesurable au sens de Jordan.
• Sa fonction indicatrice est donc un exemple de fonction bornée sur [0, 1], de classe de Baire 1, et non intégrable au sens de Riemann.