Ensemble de Vitali

Soit la relation deux réels sont en relation si leur différence est un rationnel. Chaque classe d'équivalence élément du groupe quotient ℝ/ℚ rencontre l'intervalle unité [0, 1]. En effet si on note ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ la partie entière (par défaut) de ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$ sont équivalents. Chaque classe d’équivalence est non vide, l’axiome du choix[2] assure donc l'existence d'une partie V de [0, 1] qui contienne un et un seul représentant de chaque classe de réels modulo ℚ[Note 1].

Tout ensemble V de cette forme est un « ensemble de Vitali[3] » du groupe abélien polonais (ℝ, +).

Les ensembles de Vitali ne sont pas mesurables au sens de Lebesgue et ne vérifient pas la propriété de Baire[3].

Supposons par l'absurde V mesurable. On considère l'ensemble :

${\displaystyle A=\bigcup _{{r\in \mathbb {Q} } \atop {-1\leq r\leq 1}}(V+r)\subset [-1,2]}$

formé par la réunion de certains translatés de V. A est mesurable en tant que réunion dénombrable d'ensembles mesurables.

On remarque que cette réunion est formée d'ensembles deux à deux disjoints puisque V ne contient qu'un réel par classe d'équivalence modulo ℚ. La mesure de Lebesgue de A est donc la somme infinie dénombrable de celle de V ; puisqu'elle est inférieure à 3, cela oblige la mesure de V, et donc celle de A, à être nulles.

On observe pourtant que [0, 1] est inclus dans A. En effet, par définition de V, tout réel x de [0, 1] est congru modulo ℚ à un élément y de V ; ceci signifie que x – y appartient à ℚ. De plus, comme x et y sont tous deux dans [0, 1], –1 ≤ x – y ≤ 1 donc x, qui est dans le translaté V + (x – y), est élément de A. Un ensemble de mesure nulle contenant [0, 1] fournit une contradiction.

Théorème de Steinhaus