Ensemble de Smith

• L'ensemble de Smith existe toujours et est bien défini. Il n'y a qu'un plus petit ensemble dominant car les ensembles dominants sont imbriqués et non vides et l'ensemble des candidats est fini.
• L'ensemble Smith peut avoir plus d'un candidat, soit à cause de liens par paires, ou à cause de cycles, comme dans le paradoxe de Condorcet.
• Le vainqueur de Condorcet, s'il en existe un, est le seul membre de l'ensemble de Smith. S'il existe de faibles gagnants Condorcet, ils font partie de l'ensemble de Smith.
• L'ensemble Smith est toujours un sous-ensemble de l'ensemble de candidats préféré par la majorité mutuelle, s'il en existe un.

L'ensemble Smith peut être calculé avec l'algorithme Floyd – Warshall dans le temps Θ ${\displaystyle (n^{3})}$ . Il peut également être calculé en utilisant une version de l'algorithme de Kosaraju ou de l'algorithme de Tarjan dans le temps Θ ${\displaystyle (n^{2})}$ .

Il peut également être trouvé en créant une matrice de comparaison par paires avec les candidats classés par leur nombre de victoires par paire moins les défaites par paire (un classement selon la méthode Copeland ), puis en recherchant le plus petit carré de cellules en haut à gauche qui peut être couvert tel que toutes les cellules à droite de ces cellules affichent des victoires par paires. Tous les candidats nommés à gauche de ces cellules sont dans l'ensemble Smith.

Exemple utilisant le classement Copeland :

A perd à C, donc tous les candidats de A à C (A, B et C) sont confirmés pour être dans l'ensemble Smith. Il y a une comparaison où un candidat déjà confirmé être dans le set Smith perd ou a également avec quelqu'un qui n'a pas été confirmé être dans le set Smith: C perd contre D; il est donc confirmé que D fait partie de l'ensemble Smith. Maintenant, il y a une autre telle confrontation: D a également avec E, donc E est aussi dans l'ensemble Smith. Parce que tous les candidats de A à E ont battu tous les candidats qui n'ont pas été confirmés faire partie de l'ensemble Smith, l'ensemble Smith est désormais confirmé comme étant de les candidats de A à E.

• Critère Condorcet
• Méthode Condorcet
• Ensemble de Landau
• Préordre
• Ordre partiel

• Ward, Benjamin, « Majority Rule and Allocation », Journal of Conflict Resolution, vol. 5, n^o 4,‎ 1961, p. 379–389 (DOI 10.1177/002200276100500405)
• Smith, J.H., « Aggregation of Preferences with Variable Electorates », Econometrica, The Econometric Society, vol. 41, n^o 6,‎ 1973, p. 1027–1041 (DOI 10.2307/1914033, JSTOR 1914033) Introduit une version d'un critère de Condorcet généralisé qui est satisfait lorsque les élections par paire sont basées sur un choix de majorité simple, et pour tout ensemble dominant, tout candidat de l'ensemble est collectivement préféré à tout candidat ne faisant pas partie de l'ensemble. Mais Smith ne discute pas de l'idée d'un plus petit ensemble dominant.
• Fishburn, Peter C., « Condorcet Social Choice Functions », SIAM Journal on Applied Mathematics, vol. 33, n^o 3,‎ 1977, p. 469–489 (DOI 10.1137/0133030) Narrows Smith a généralisé le critère Condorcet au plus petit ensemble dominant et l'appelle le principe Condorcet de Smith.
• Thomas Schwartz, The Logic of Collective Choice, New York, Columbia University Press, 1986 Discute de l'ensemble Smith (nommé GETCHA) et de l'ensemble Schwartz (nommé GOTCHA) en tant que normes possibles pour un choix collectif optimal.

• Exemples d'algorithmes pour calculer l'ensemble de Smith