Domino (mathématiques)
En mathématiques, un domino est un polyomino d'ordre 2, c'est-à -dire un polygone dans le plan constitué de deux carrés de taille égale reliés bord à bord[1]. Lorsque les rotations et les réflexions ne sont pas considérées comme des formes distinctes, il n'y a qu'un seul domino libre.
Comme il a une symétrie de réflexion, c'est aussi le seul domino unilatéral (avec des réflexions considérées comme distinctes). Lorsque les rotations sont également considérées comme distinctes, il existe deux dominos fixes : le second peut être créé en faisant pivoter celui-ci de 90°[2] - [3].
Un carrelage domino est un revêtement d'un autre polyomino avec des dominos. Ceux-ci figurent dans plusieurs problèmes célèbres, y compris le problème du diamant aztèque dans lequel les grandes régions en forme de diamant ont un nombre de pavages égal à une puissance de deux[4], la plupart des pavages apparaissant au hasard dans une région circulaire centrale et ayant une structure plus régulière à l'extérieur de ce «cercle arctique», et le problème de l'échiquier mutilé, où l'enlèvement de deux coins opposés d'un échiquier rend impossible le maillage avec les dominos[5].
Dans un sens plus large, le terme domino est souvent compris comme signifiant simplement une tuile de n'importe quelle forme[6].
Bibliographie
Vidéos
- (en) [vidéo] Mathologer, The ARCTIC CIRCLE THEOREM or Why do physicists play dominoes? sur YouTube, longue vidéo de vulgarisation reprenant les thèmes évoqués dans l'article.
Voir aussi
- Dominos, un ensemble de pièces de jeu en forme de domino
- Tatami, revĂŞtement de sol japonais en forme de domino
Références
- Solomon W. Golomb, Polyominoes : Puzzles, Patterns, Problems, and Packings, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, , 2nd Ă©d., 184 p. (ISBN 0-691-02444-8, lire en ligne)
- Eric W Weisstein, « Domino », From MathWorld – A Wolfram Web Resource (consulté le )
- D. Hugh Redelmeier, « Counting polyominoes: yet another attack », Discrete Mathematics, vol. 36,‎ , p. 191–203 (DOI 10.1016/0012-365X(81)90237-5)
- Noam Elkies, Greg Kuperberg, Michael Larsen et James Propp, « Alternating-sign matrices and domino tilings. I », Journal of Algebraic Combinatorics, vol. 1, no 2,‎ , p. 111–132 (DOI 10.1023/A:1022420103267, MR 1226347).
- N. S. Mendelsohn, « Tiling with dominoes », The College Mathematics Journal, Mathematical Association of America, vol. 35, no 2,‎ , p. 115–120 (DOI 10.2307/4146865, JSTOR 4146865).
- Robert Berger, « The undecidability of the Domino Problem », Memoirs Am. Math. Soc., vol. 66,‎