Diviseur spécial
En mathématiques, un diviseur spécial est un diviseur sur une courbe algébrique qui possède la particularité de déterminer plus de fonctions compatibles qu'attendu.
La condition pour qu'un diviseur D soit spécial peut être formulée en termes de cohomologie des faisceaux comme la non-trivialité du groupe de cohomologie H1 du faisceau des sections du faisceau inversible associé à D. Par le théorème de Riemann-Roch, cela signifie que le groupe de cohomologie H0, espace des sections holomorphes, est plus gros qu'attendu.
Par dualité de Serredifférentielles holomorphes de diviseur ≥ −D sur la courbe.
, cette condition se traduit par l'existence deThéorie de Brill-Noether
La théorie de Brill-Noether[1], en géométrie algébrique, traite des diviseurs spéciaux sur les courbes algébriques « génériques (en) ». Il est principalement intéressant quand le genre g est supérieur ou égal à 3.
Le théorème de Riemann-Brill-Noether, dont la première preuve rigoureuse fut donnée par Phillip Griffiths et Joe Harris[2], peut se formuler en termes de la variété de Picard Pic(C) et du sous-ensemble de Pic(C) correspondant aux classes d'équivalence des diviseurs D de degré n pour lesquels l(D) (avec les notations du théorème de Riemann-Roch) est égal à r : la dimension dim(n, r, g) de ce sous-schéma de Pic(C) est supérieure ou égale à r(n − r + 1) − (r − 1)g.
Cette borne est atteinte pour les courbes de modules (en) génériques[3].
On peut formuler ce problème en dimensions supérieures, et il existe maintenant une théorie de Brill-Noether pour certaines classes de surfaces algébriques.
Notes et références
- (de) Alexander von Brill et Max Noether, « Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie », Math. Ann., vol. 7, no 2,‎ , p. 269–316 (DOI 10.1007/BF02104804, JFM 06.0251.01, lire en ligne)
- (en) Phillip Griffiths et Joseph Harris, « On the variety of special linear systems on a general algebraic curve », Duke Math. J., vol. 47, no 1,‎ , p. 233–272 (MR 0563378) lien Math Reviews
- (en) V. E. Voskresenskii, « Algebraic curve », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Special divisor » (voir la liste des auteurs).
Bibliographie
- E. Arbarello, M. Cornalba, P. A. Griffiths et J. Harris, Geometry of Algebraic Curves Volume I, coll. « Grund. math. Wiss. » (no 267), (ISBN 0-387-90997-4)
- (en) P. Griffiths et J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley Interscience, (ISBN 0-471-05059-8), p. 245
- (en) Robin Hartshorne, Algebraic Geometry [détail des éditions], p. 345
Article connexe
- Théorème de Clifford sur les diviseurs spéciaux (en)