Distribution quasi-stationnaire

Soit ${\displaystyle (X_{n})}$ une chaîne de Markov sur l'ensemble des entiers naturels ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Supposons que l'état 0 soit absorbant et la chaîne soit absorbée en 0 presque sûrement. Soit ${\displaystyle T_{0}=\inf\{n\geq 0,X_{n}=0\}}$ le temps d'absorption en 0. On dit qu'une probabilité ${\displaystyle \nu }$ sur ${\displaystyle \{1,2,3,...\}}$ est une distribution quasi-stationnaire si pour tout ${\displaystyle j\geq 1}$ et pour tout ${\displaystyle n\geq 1}$,

${\displaystyle \sum _{i\geq 1}\nu _{i}\mathbb {P} (X_{n}=j|X_{0}=i,T_{0}>n)=\nu _{j}.}$

On dit qu'une probabilité ${\displaystyle \mu }$ sur ${\displaystyle \{1,2,3,...\}}$ est une limite de Yaglom si pour tout ${\displaystyle i\geq 1}$ et tout ${\displaystyle j\geq 1}$,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (X_{n}=j|X_{0}=i,T_{0}>n)=\mu _{j}.}$

Une limite de Yaglom est une distribution quasi-stationnaire. Si elle existe, la limite de Yaglom est unique. En revanche, il peut y avoir plusieurs distributions quasi-stationnaires.

Si ${\displaystyle \nu }$ est une distribution quasi-stationnaire, alors il existe un nombre réel ${\displaystyle \rho (\nu )\in ]0,1[}$ tel que

${\displaystyle \sum _{i}\nu _{i}\mathbb {P} (T_{0}>n|X_{0}=i)=\rho (\nu )^{n}}$.

Soit ${\displaystyle \theta (\nu )=-\log \rho (\nu )}$. Alors pour tout ${\displaystyle \theta <\theta (\nu )}$

${\displaystyle \sum _{i}\nu _{i}\mathbb {E} (e^{\theta T_{0}}|X_{0}=i)<\infty .}$

Le nombre ${\displaystyle \theta ^{*}=\sup\{\theta$ :\mathbb {E} (e^{\theta T}|X_{0}=i)<+\infty \}} ne dépend pas de ${\displaystyle i}$. C'est le taux de survie du processus. S'il existe une distribution quasi-stationnaire, alors ${\displaystyle \theta ^{*}>0}$.

Soit ${\displaystyle P}$ la matrice de transition de la chaîne de Markov et ${\displaystyle Q=(P_{i,j})_{i,j>0}}$. Si ${\displaystyle \nu }$ est une distribution quasi-stationnaire, alors ${\displaystyle \nu Q=\rho (\nu )\,\nu .}$. Donc ${\displaystyle \nu }$ est un vecteur propre à gauche avec une valeur propre dans l'intervalle ${\displaystyle ]0,1[}$.

Soit un processus de Markov ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ à valeurs dans ${\displaystyle E}$. Supposons qu'il y ait un ensemble mesurable ${\displaystyle F}$ d'états absorbants et posons ${\displaystyle G=E\setminus F}$. Notons ${\displaystyle T}$ le temps d'atteinte de ${\displaystyle F}$. Supposons que ${\displaystyle F}$ soit atteint presque sûrement : ${\displaystyle \forall x\in {\mathcal {X}},\mathbb {P} (T<\infty |X_{0}=x)=1}$.

Une probabilité ${\displaystyle \nu }$ sur ${\displaystyle G}$ est une distribution quasi-stationnaire si pour tout ensemble mesurable ${\displaystyle B}$ dans ${\displaystyle G}$,

$${\displaystyle \forall t\geq 0,\int _{G}\mathbb {P} (X_{t}\in B|X_{0}=x,T>t)\,\mathrm {d} \nu (x)=\nu (B)}$$

Si ${\displaystyle \nu }$ est une distribution quasi-stationnaire, alors il existe un nombre réel ${\displaystyle \theta (\nu )>0}$ tel que ${\displaystyle \int _{G}\mathbb {P} (T>t|X_{0}=x)\,\mathrm {d} \nu (x)=\exp(-\theta (\nu )t)}$.

Soit ${\displaystyle (X_{t})}$ une chaîne de Markov en temps continu sur un espace d'états fini ${\displaystyle I}$, de générateur ${\displaystyle Q}$. Soit ${\displaystyle J}$ un sous-ensemble absorbant de ${\displaystyle I}$. Notons ${\displaystyle K=I\setminus J}$ et ${\displaystyle R=(Q_{i,j})_{i,j\in K}}$. Supposons que ${\displaystyle R}$ soit une matrice irréductible. Supposons aussi qu'il existe ${\displaystyle i_{0}}$ tel que ${\displaystyle (Q\mathbf {1} )_{i_{0}}<0}$, où ${\displaystyle \mathbf {1} }$ est le vecteur (1,...,1). D'après le théorème de Perron-Frobenius, il existe une unique valeur propre ${\displaystyle -\theta <0}$ de la matrice ${\displaystyle R}$ avec un vecteur propre à gauche ${\displaystyle \nu }$ dont toutes les composantes sont ${\displaystyle >0}$ et normalisé de sorte que ${\displaystyle \sum _{i\in K}\nu _{i}=1}$. Alors ${\displaystyle \nu }$ est l'unique distribution quasi-stationnaire. De plus, pour tout ${\displaystyle i,j\in K}$,

${\displaystyle \theta =-\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\log \mathbb {P} (X_{t}=j|X_{0}=i).}$

Les travaux de Wright sur la fréquence des gènes en 1931 et de Yaglom en 1947 sur les processus de ramification contenaient déjà l'idée des distributions quasi-stationnaires. Le terme de quasi-stationnarité appliqué aux systèmes biologiques a ensuite été utilisé par Donald Barlett en 1957, qui a ensuite forgé le terme « distribution quasi-stationnaire ».

Les distributions quasi-stationnaires faisaient également partie de la classification des processus tués donnée par Vere-Jones en 1962. La définition pour les chaînes de Markov à espace d'états fini a été donnée en 1965 par Darroch et Seneta.

• Denis Villemonais, Distributions quasi-stationnaires et méthodes particulaires pour l'approximation de processus conditionnés, thèse, École polytechnique, 2011.
• Sylvie Méléard, Modèles aléatoires en écologie et évolution, Springer, 2016.

• S. Wright, Evolution in Mendelian populations, Genetics, 1931, vol. 16, n^o 2, pp. 97–159.
• A.M. Yaglom, Certains théorèmes limites dans la théorie des processus stochastiques de branchement (en russe), Dokl. Akad. Nauk. SSSR n^o 56, 1947, p. 795-798.
• Maurice Bartlett, « On theoretical models for competitive and predatory biological systems », Biometrika, n^o 44,‎ 1957, p. 27–42.
• M.S. Bartlett, Stochastic population models in ecology and epidemiology, 1960.
• D. Vere-Jones, Geometric ergodicity in denumerable Markov chains, Quarterly Journal of Mathematics n^o 13, 1962, p. 7–28. doi:10.1093/qmath/13.1.7
• J.N. Darroch, E. Seneta, On Quasi-Stationary Distributions in Absorbing Discrete-Time Finite Markov Chains, Journal of Applied Probability n^o 2, 1965, p. 88–100. doi:10.2307/3211876