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Distance d'un point à un plan

Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P).

La distance du point A au plan P est AH. Cette distance est inférieure à AM et AM'

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.

Soit dans l'espace:

  • Le point A de coordonnées
  • Un point M quelconque du plan P
  • Le projeté orthogonal H de A sur P, noté
  • Le plan P d'équation cartésienne: ax + by + cz + d = 0
  • un vecteur normal au plan P

Alors la distance du point A au plan P notée vaut :

d'où,

Démonstration

Premièrement, on sait que les vecteurs et sont colinéaires, on peut donc écrire :

ce qui revient à,

Deuxièmement, donc:

Ceci revient à résoudre le système suivant:

La substitution des coordonnées de H dans la 4e équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire :

.

ou encore :

.

P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls : on a

Finalement, la distance de A à P n'est autre que la longueur du vecteur , donc :

soit
et enfin

Ceci termine la preuve.

Voir aussi

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