Diffraction par une fente

Un rayon parcourt une distance δ entre la fente et l'écran. La différence de phase introduite par ce chemin est

${\displaystyle \Delta \varphi =2\pi {\frac {\delta }{\lambda }}}$

λ étant la longueur d'onde de la radiation lumineuse supposée monochromatique.

Les rayons qui frappent un point de l'écran sont issus de différents points de la fente. S'ils sont en phase au niveau de la fente, leur déphasage est différent arrivé sur l'écran. Ils vont interférer, il faut donc calculer le déphasage entre les rayons pour connaître le résultat.

Considérons un point x de l'écran, et un point x₁ de la fente. L'onde partant de x₁ arrive en x en ayant parcouru une distance δ (d'après le théorème de Pythagore) :

${\displaystyle \delta ={\sqrt {D^{2}+(x-x_{1})^{2}}}=D\cdot {\sqrt {1+{\frac {(x-x_{1})^{2}}{D^{2}}}}}}$

Si l'écran est suffisamment loin, on a D >> (x - x₁), on peut donc faire un développement limité du premier ordre :

${\displaystyle \delta \simeq D\cdot \left(1+{\frac {(x-x_{1})^{2}}{2D^{2}}}\right)}$

Si l'on développe le terme au carré :

${\displaystyle \delta =D\cdot \left(1+{\frac {x^{2}-2xx_{1}+x_{1}^{2}}{2D^{2}}}\right)}$

Si l'on se place à une distance x grande devant x₁ (donc devant a), on peut négliger le terme du second ordre :

${\displaystyle \delta \simeq D\cdot \left(1+{\frac {x^{2}-2xx_{1}}{2D^{2}}}\right)}$

Cette approximation correspond aux conditions de diffraction de Fraunhoffer.

L'onde incidente a pour fonction

${\displaystyle \psi (t)=\psi _{0}\cdot e^{i\omega t}}$

quel que soit x₁ (onde plane, on choisit arbitrairement le déphasage nul dans le plan de la fente). Au point x, l'onde diffusée par le point x₁ a pour fonction

${\displaystyle \psi (x_{1},x,t)=\psi _{0}\cdot e^{i\omega t+i\Delta \varphi }=\psi _{0}\cdot e^{i\omega t+i{\frac {2\pi }{\lambda }}D\cdot \left(1+{\frac {x^{2}-2xx_{1}}{2D^{2}}}\right)}}$

soit

${\displaystyle \psi (x_{1},x,t)=\psi _{0}\cdot e^{i\omega t-i{\frac {2\pi D}{\lambda }}-i{\frac {\pi x^{2}}{\lambda D}}}\cdot e^{i{\frac {2\pi xx_{1}}{\lambda D}}}}$

À un point x donné de l'écran, l'onde résultante vaut donc

${\displaystyle \psi _{1}(x,t)=\int _{-a/2}^{a/2}\psi (x_{1},x,t)dx_{1}=\psi _{0}\cdot e^{i\omega t-i{\frac {2\pi D}{\lambda }}-i{\frac {\pi x^{2}}{\lambda D}}}\cdot \int _{-a/2}^{a/2}e^{i{\frac {2\pi xx_{1}}{\lambda D}}}dx_{1}}$

Le dernier facteur vaut

${\displaystyle -i{\frac {\lambda D}{2\pi x}}\cdot \left[e^{i{\frac {2\pi xx_{1}}{\lambda D}}}\right]_{-a/2}^{a/2}=-i{\frac {\lambda D}{2\pi x}}\cdot \left(e^{i{\frac {\pi xa}{\lambda D}}}-e^{-i{\frac {\pi xa}{\lambda D}}}\right)={\frac {\lambda D}{\pi x}}\cdot \sin \left({\frac {\pi xa}{\lambda D}}\right)}$

Donc

${\displaystyle \psi _{1}(x,t)=\psi _{0}\cdot e^{i\omega t-i{\frac {2\pi D}{\lambda }}-i{\frac {\pi x^{2}}{\lambda D}}}\cdot a\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\pi xa}{\lambda D}}\right)}$

L'intensité lumineuse est le flux d'énergie, soit le carré de la norme

${\displaystyle I(x)=|\psi _{1}(x,t)|^{2}=\psi _{0}^{2}a^{2}\mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {\pi a}{\lambda D}}\cdot x\right)}$

La diffraction par une fente de longueur infinie permet de déterminer :

• la figure de diffraction par une ouverture rectangulaire : c'est comme si l'on avait deux fentes infinies l'une après l'autre et tournées d'un quart de tour dans leur plan ;
• dans le cas des deux fentes de Young, la figure d'interférence se superpose au profil dû à une fente.